[物理学与PDEs]第5章第2节 变形的描述, 应变张量 2.3 位移梯度张量与无穷小应变张量

1.  位移向量 $$\bex {\bf u}={\bf y}-{\bf x}. \eex$$

2.  位移梯度张量 $$\bex \n_x{\bf u}={\bf F}-{\bf I}. \eex$$

3.  ${\bf C}$ 的表示: $$\beex \bea {\bf C}&={\bf F}^T{\bf C}=[{\bf I}+(\n{\bf u})^T]\cdot [{\bf I}+\n {\bf u}]\\ &={\bf I}+\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T+(\n{\bf u})^T\n{\bf u},\\ {\bf C}-{\bf I}&=\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T+(\n{\bf u})^T\n{\bf u}, \eea \eeex$$ 衡量物体相对参考构形而言的形状改变的一个尺度.

4.  当 $|\n {\bf u}|\ll 1$ 时, ${\bf C}-{\bf I}=2{\bf E}$, $$\bex {\bf E}=\cfrac{1}{2}\sez{\n{\bf u}+(\n{\bf u})^T} \eex$$ 称为无穷小应变张量 (Cauchy 应变张量).

(1)  ${\bf E}$ 的分量 $$\bex e_{ij}=\cfrac{1}{2}\sex{ \cfrac{\p u_i}{\p x_j}+\cfrac{\p u_j}{\p x_i}}. \eex$$

(2)  ${\bf E}$ 的分量的又一表达式 $$\beex \bea &\quad \cfrac{\p u_i}{\p x_j} =\sum_k \cfrac{\p u_i}{\p y_k}\cfrac{\p y_k}{\p x_j}\quad({\bf u}={\bf y}-{\bf x},\ |\n{\bf u}|\ll 1)\\ &\quad\quad\ \ =\sum_k \cfrac{\p u_i}{\p y_k}\sex{1+\cfrac{\p u_k}{\p x_j}}\quad({\bf F}={\bf I}+\n {\bf u})\\ &\quad\quad\ \ =\cfrac{\p u_i}{\p y_k}\\ &\ra e_{ij}=\cfrac{1}{2}\sex{\cfrac{\p u_i}{\p y_j}+\cfrac{\p u_j}{\p y_i}}. \eea \eeex$$

(3)  ${\bf E}$ 的几何意义

a.  $e_{ii}$. 取 $$\bex \rd {\bf x}^1=(\rd l_1,0,0)^T,\quad\rd {\bf x}^2=(0,\rd l_2,0)^T, \eex$$ 则 $$\beex \bea \rd {\bf y}^1&={\bf F}\rd {\bf x}^1=\sex{1+\cfrac{\p u_1}{\p x_1},\cfrac{\p u_2}{\p x_1},\cfrac{\p u_3}{\p x_1}}^T\rd l_1,\\ \rd {\bf y}^2&={\bf F}\rd {\bf x}^2=\sex{\cfrac{\p u_1}{\p x_2},1+\cfrac{\p u_2}{\p x_2},\cfrac{\p u_3}{\p x_2}}^T\rd l_2.  \eea \eeex$$ $\rd {\bf y}^1$ 的长度 $$\bex \rd \tilde l_1=\sqrt{\sex{1+2\cfrac{\p u_1}{\p x_1}}(\rd l_1)^2} =\sex{1+\cfrac{\p u_1}{\p x_1}}\rd l_1\ra \cfrac{\rd \tilde l_1-\rd l_1}{\rd l_1}=e_{11}. \eex$$ 故 $e_{11}$ 表示无穷小变形后, 原先在 ${\bf e}_1$ 方向的微线元的相对伸长.

b.  $e_{ij}\ (i\neq j)$. 由 $$\bex \rd {\bf y}^1\cdot\rd {\bf y}^2=\sex{\cfrac{\p u_1}{\p x_2}+\cfrac{\p u_2}{\p x_1}}\rd l_1\rd l_2 \eex$$ 知 $\rd {\bf y}^1,\rd {\bf y}^2$ 的夹角 $\tt$ 适合 $\cos\tt=2e_{12}$. 而变形前后夹角的变化 $$\bex \gamma=\cfrac{\pi}{2}-\tt=\sin \sex{\cfrac{\pi}{2}-\tt} =\cos\tt=2e_{12}. \eex$$ 故 $e_{12}$ 表示无穷小变形后, 原先在 ${\bf e}_1,{\bf e}_2$ 上的两微线元之间夹角的减少量的一半.

c.  $\tr {\bf E}$. 由 $$\bex J=\det{\bf F}=\det({\bf I}+\n {\bf u})=1+\tr {\bf E} \eex$$ 知 $\tr {\bf E}$ 表示无穷小变形过程中体积微元的相对增长.