【BZOJ】 1041: [HAOI2008]圆上的整点

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

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${x^{2}+y^{2}=r^{2} }$

${\Rightarrow y^{2}=(r-x)(r+x)}$

令${d=gcd(r-x,r+x)}$

则${y^{2}=d^{2}*\frac{r+x}{d}*\frac{r-x}{d}}$

再令${A=\frac{r+x}{d}}$,${B=\frac{r-x}{d}}$

则${y^{2}=d^{2}*A*B}$

考虑${y^{2}}$是完全平方数，${d^{2}}$是完全平方数，又${gcd(A,B)=1}$那么${A,B}$都是完全平方数。

设${A=a^{2}}$,${B=b^{2}}$

${A+B=a^{2}+b^{2}}$

${\Rightarrow \frac{2*r}{d}=a^{2}+b^{2}}$

　　考虑枚举${\frac{2*r}{d}}$，这一步的复杂度是${O(\sqrt{r})}$的，然后再在${\left [ 1,\sqrt{2*\frac{r}{d}}/2 \right ]}$的范围内枚举${a}$，进而可以算出${A,b,B}$,然后判断${A,B}$是否互质，$B$是否为完全平方数，这样子就算出了第一象限的答案，然后将$ans*4+4$,算是统计了每一个象限的并且加上了坐标轴上的四个点。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<map>
 using namespace std;
 #define llg long long
 #define maxn 100010
 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
 llg ans,n;
 inline llg getint()
 {
     llg w=,q=; char c=getchar();
     while((c<'' || c>'') && c!='-') c=getchar();
     if (c=='-')  q=, c=getchar(); while (c>='' && c<='') w=w*+c-'', c=getchar();
     return q ? -w : w;
 }

 void calc(llg d)
 {
     for (llg a=;a<=sqrt(d/);a++)
     {
         llg A=a*a,B=d-A,b=sqrt(B);
         if (b*b==B && __gcd(A,B)== && A!=B) ans++;
     }
 }

 int main()
 {
     yyj("circle");
     cin>>n;
     for (llg i=;i<=sqrt(n*);i++)
         if ((*n%i)==)
         {
             calc(i);
             calc(*n/i);
         }
     cout<<ans*+;
     return ;
 }