@bzoj - 3749@ [POI2015] Łasuchy

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• @solution@
  • @version - 1@
  • @version - 2@
• @accepted code@
  • @version - 1@
  • @version - 2@
• @details@

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@description@

圆桌上摆放着 n 份食物，围成一圈，第 i 份食物所含热量为 c[i]。

相邻两份食物之间坐着一个人，共有 n 个人。每个人有两种选择，吃自己左边或者右边的食物。如果两个人选择了同一份食物，这两个人会平分这份食物，每人获得一半的热量。

假如某个人改变自己的选择后（其他 n-1 个人的选择不变），可以使自己获得比原先更多的热量，那么这个人会不满意。

请你给每个人指定应该吃哪一份食物，使得所有人都能够满意。

input

第一行一个整数 n (2<=n<=1000000)，表示食物的数量（即人数）。食物和人都从1~n编号。

第二行包含 n 个整数 c[1], c[2], …, c[n](1<=c[i]<=10^9)。

假设第 i 个人(1<=i<n)左边是第 i 份食物，右边是第 i+1 份食物；而第 n 个人左边是第 n 份食物，右边是第 1 份食物。

output

如果不存在这样的方案，仅输出一行 NIE。

如果存在这样的方案，输出一行共 n 个整数，第 i 个整数表示第 i 个人选择的食物的编号。如果有多组这样的方案，输出任意一个即可。

sample input

5

5 3 7 2 9

sample output

2 3 3 5 1

@solution@

@version - 1@

网上的题解（至少在我能看到的）大多采用的是如下的方法：

我们记 dp[i][s] 表示第 i 份食物被左右两个人选择的状态为 s 是否合法（0 <= s < 4）

拆环成链：在第 n 个人的右边，即第 n + 1 份食物处放上第 1 份食物。

枚举第一份食物被吃的状态，递推到第 n + 1 份，再 check 第 n + 1 份的状态是否等于第一份食物。

dp 的时候记录转移，就可以输出方案了。

@version - 2@

然而。。。在我的不懈努力下，我乱搞出来了另外一个解法：

首先可以发现如果一个人某一边的食物 >= 另一边的两倍，则他选择这一边的食物一定不亏。

我们称这个人具有绝对占优策略。

这并不能说明什么。但是，考虑这样一个情况：所有人都不具有绝对占优策略。

这个时候，第 i 个人选择第 i 份食物总是一个合法的解。

证明可以采用反证法：如果第 i 个人改变选择而第 i + 1 个人不改变选择导致第 i 个人收益更大，则说明 c[i + 1] > c[i]*2。矛盾。

是否我们可以去掉具有绝对占优策略的人，再将剩下的人按上面的方法（第 i 个人选择第 i 份食物）进行处理？

对，也不完全对。

因为如果一个人的策略确定了，可能会导致其他人从不确定的状态转为确定的状态。

（举个例子：某个人旁边是 6 7，是不确定的。这个时候他旁边的人选择了 6，他变成了 3 7，就是确定的了）

需要在第一次去掉过后再继续寻找新的。

如果直接迭代 “寻找具有绝对占优策略的人”->“删除他们”，时间复杂度是 O(n^2) 的。

但是，我们发现一个人的策略只会影响他左右的人的策略。

所以可以将他左右的人加入队列（为了偷懒我用的栈），再进行进一步的处理。

这样就是 O(n) 的了。

同时这也表示不会存在无解的情况。

@accepted code@

给出两份代码，分别对应上面的两类解法。

@version - 1@

#include<cstdio>
const int MAXN = 1000000 + 5;
inline int read() {
	int x = 0; char ch = getchar();
	while( ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
	while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch-'0', ch = getchar();
	return x;
}
inline void write(int x) {
	if( !x ) return ;
	write(x/10);
	putchar(x%10 + '0');
}
int c[MAXN], pre[4][MAXN], n;
bool dp[4][MAXN];
void print(int i, int j) {
	if( j == 0 ) return ;
	print(pre[i][j], j - 1);
	printf("%d ", (j + (i&1)) > n ? 1 : (j + (i&1)) );
}
bool check(int x) {
	for(int i=0;i<=n;i++)
		dp[0][i] = dp[1][i] = dp[2][i] = dp[3][i] = false;
	dp[x][0] = true;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if( dp[2][i-1] && c[i]   <= c[i-1]   ) dp[0][i] = true, pre[0][i] = 2;
		if( dp[3][i-1] && 2*c[i] <= c[i-1]   ) dp[0][i] = true, pre[0][i] = 3;
		if( dp[0][i-1] && c[i]   >= c[i-1]   ) dp[1][i] = true, pre[1][i] = 0;
		if( dp[1][i-1] && 2*c[i] >= c[i-1]   ) dp[1][i] = true, pre[1][i] = 1;
		if( dp[2][i-1] && c[i]   <= 2*c[i-1] ) dp[2][i] = true, pre[2][i] = 2;
		if( dp[3][i-1] && 2*c[i] <= 2*c[i-1] ) dp[2][i] = true, pre[2][i] = 3;
		if( dp[0][i-1] && c[i]   >= 2*c[i-1] ) dp[3][i] = true, pre[3][i] = 0;
		if( dp[1][i-1] && 2*c[i] >= 2*c[i-1] ) dp[3][i] = true, pre[3][i] = 1;
	}
	if( dp[x][n] ) {
		print(x, n);
		return true;
	}
	return false;
}
int main() {
	n = read();
	for(int i=0;i<n;i++)
		c[i] = read();
	c[n] = c[0];
	for(int i=0;i<4;i++)
		if( check(i) ) return 0;
	puts("NIE");
}

@version - 2@

#include<cstdio>
const int MAXN = 1000000;
int ans[MAXN + 5], tag[MAXN + 5], n;
int c[MAXN + 5], stk[MAXN + 5], top = 0;
inline int nxt(int x) {return (x + 1 == n) ? 0 : x + 1;}
inline int pre(int x) {return (x == 0) ? n - 1 : x - 1;}
inline bool Check(int i, int j) {
	if( tag[i] == -1 ) {
		if( tag[j] == 1 ) return c[i]*2 > c[j];
		else return c[i] > c[j];
	}
	else {
		if( tag[j] == 1 ) return c[i] > c[j];
		else return c[i] > c[j]*2;
	}
}
inline int read() {
	int x = 0; char ch = getchar();
	while( ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
	while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch-'0', ch = getchar();
	return x;
}
void write(int x) {
	if( !x ) return ;
	write(x/10);
	putchar(x%10 + '0');
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0;i<n;i++) {
		c[i] = read();
		ans[i] = -1; tag[i] = 0;
	}
	for(int i=0;i<n;i++) {
		if( ans[i] != -1 ) continue;
		stk[++top] = i;
		while( top ) {
			int x = stk[top--];
			if( Check(x, nxt(x)) ) {
				ans[x] = x;
				if( ans[nxt(x)] == -1 ) stk[++top] = nxt(x), tag[nxt(x)] = -1;
				if( ans[pre(x)] == -1 ) stk[++top] = pre(x), tag[x] = 1;
			}
			else if( Check(nxt(x), x) ) {
				ans[x] = nxt(x);
				if( ans[nxt(x)] == -1 ) stk[++top] = nxt(x), tag[nxt(x)] = 1;
				if( ans[pre(x)] == -1 ) stk[++top] = pre(x), tag[x] = -1;
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
		if( ans[i] == -1 ) ans[i] = i;
	for(int i=0;i<n;i++) write(ans[i] + 1), putchar(' ');
	puts("");
}

@details@

一查，这道题居然还有什么专业背景，叫什么帕累托最优什么的……

不过这不重要。

dp 竟然卡我内存……不开 bool 还会 MLE……

如果我的乱搞做法有什么问题（因为我也没找到跟我一样做法的人所以不知道其正确性），请务必告诉我，谢谢。