详解数组分段和最大值最小问题（最小m段和问题）

数组分段和最大值最小问题（最小m段和问题）

问题描述

给定n个整数组成的序列，现在要求将序列分割为m段，每段子序列中的数在原序列中连续排列。如何分割才能使这m段子序列的和的最大值达到最小？

清洁工：假设有n个房间，清洁每个房间耗时用一个数组表示，10、20、30、40、50、60、70、80、90，安排m个清洁工，将连续的房间分成m份，每部分耗时求和，其最大值为此种分法的总耗时。求最快的耗时是多少。例如3个清洁工的话，10 20 30 40 50 | 60 70 | 80 90，此时是最快的，耗时为170。

装桶：把数据按顺序装入桶中，m即是给定的桶数，问桶的容量至少应该为多少才能恰好把这些数装入m个桶中

思路

先考虑最简单的情况，假设有 \(1\) 个数，只有一个桶，\(m=1\)：至少需要容量为该数的值；

• 如果 \(n\) 个数，只有一个桶，\(m=1\)：至少需要容量为 \(n\) 个数之和；
• 如果 \(2\) 个数，两个桶，\(m=2\)：至少需要容量为两数之间最大值
• 如果 \(t\) 个数，两个桶，\(m=2\) 呢？

我们将 \(t\) 个数划分为两份，随机选一个划分位置 \(k\)

10, 20, 30, 40, | 50, 60, 70, 80, 90

就变成两部分： \(k\) 个数分到 1 个桶；\(t-k\) 个数分到一个桶

最少所需容量为 \(f(t,2) = min\{max[f(k,1),f(t-k,1)]\},1\leq k < t\)，其中 \(f(t-k,1)\) 表示后 \(t-k\) 个数之和，表示为\(f(t-k,1) = f(t，1)-f(k,1)\)

• 现在考虑 \(n\) 个数，\(m\) 个桶：

我们同样将 \(n\) 个数划分为两份，即前 \(m-1\) 个桶和最后 \(1\) 个桶，随机选一个划分位置 \(k\)：

\[f(n,m) = min\{max[f(k,m-1),f(n-k,1)]\},1\leq k < n
\]

可以使用递归求解了，但是太耗时。我们使用动态规划填表就可以搞定了：

\[f(i,j) = min\{max[f(k,j-1),f(i,1)-f(k,1)]\},1\leq k < n
\]

可以用行表示对应的数字，列表示桶的数目，对1,2,3,4,5，两个桶：

	桶1	桶2
1	1	1
2	3	2
3	6	3
4	10	7
5	15	9

coding：

#---python
#动态规划
# dp[i][j] = min(max(dp[k][j-1],dp[i][1]-dp[k][1]))
def dp_minMsum(nums,m):
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf')]*(m+1) for _ in range(n+1)]

    #初始化
    for i in range(1,n+1):#只有一个桶
        dp[i][1] = sum(nums[:i])

    for j in range(1,m+1):#只有一个数
        dp[1][j] = nums[0]

    for i in range(2,n+1):
        for j in range(2,m+1):
            for k in range(1,i+1):
                dp[i][j] = min(dp[i][j],max(dp[k][j-1],dp[i][1]-dp[k][1]))

    return dp[-1][-1]

测试下：

>>> nums = [5,3,2,4,1]
>>> m = 2
>>> dp_minMsum(nums,m)
8

>>> nums = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90]
>>> m=3
>>> dp_minMsum(nums,m)
170

复杂度

时间复杂度：\(O(MN^2)\)

空间复杂度：\(O(NM)\)

二分查找优化

给定当前的桶容量，可以计算出需要的最少桶数：

如果需要的桶数量大于给定的桶数量k，说明桶容量太小了，增大容量；

如果计算需要的桶数量小于等于k，说明桶容量可能大了（也可能正好是要找的最小桶容量）

• 在给定容量时，求需要桶数
• 二分搜索桶容量

coding：

#---python
#根据桶容量进行二分查找对应的桶数
def bs_minMsum(nums,m):
    low = max(nums)#容量下界 最大元素
    high = sum(nums)#容量上界 元素和
    while low < high:
        mid = low+(high-low)//2
        buckets = get_buckets(nums,mid)
        if buckets <= m:#该容量下桶数 小于 给定桶数。减小容量
            high = mid
        else:           #桶数 大于 给定桶数。增大容量
            low = mid +1

    return low

def get_buckets(nums,volume):
    buckets = 1
    ans = 0
    for num in nums:
        ans += num
        if ans > volume:
            buckets += 1
            ans = num
    return buckets

复杂度

时间复杂度：\(O(Nlog(\sum n))\),\(\sum n\) 为给定数组的元素和

空间复杂度：\(O(1)\)