bzoj3028食物

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3028

好吧，这是我第一道生成函数的题目。

先搞出各种食物的生成函数：

汉堡：$1+x^2+x^4+...=\frac{1}{1-x^2}$

可乐：$1+x$

鸡腿：$1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$

蜜桃多：$x+x^3+x^5+...=\frac{x}{1-x^2}$

鸡块：$1+x^4+x^8+...=\frac{1}{1-x^4}$

包子：$1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$

土豆片炒肉：$1+x$

面包：$1+x^3+x^6...=\frac{1}{1-x^3}$

相乘得：$f(x)=\frac{x}{(1-x)^4}$

然后接下来有两种方法：

（1）广义二项式定理

$f(x)=\frac{x}{(1-x)^4}$

$=x(1-x)^{-4}$

$=x\sum\limits_{k=0}^{\infty }C_{4+k-1}^{k}x^k$

$=x\sum\limits_{k=0}^{\infty }C_{k+3}^{3}x^k$

所以$x^n$的系数为$C_{n-1+3}^{3}=C_{n+2}^{3}$

（2）麦克劳林级数展开式

我们有如下定理：

$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$$

$$其中f^{(n)}(x)是f(x)的n阶导数$$

回到本题

$f^{(n)}(x)=[x(1-x)^{-4}]^{(n)}$

$=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{(k)}[(1-x)^{-4}]^{(n-k)}$

$易知当k>1时，x^{(k)}=0,所以$

$=C_{n}^{0}x^{(0)}[(1-x)^{-4}]^{(n)}+C_{n}^{1}x^{(1)}[(1-x)^{-4}]^{(n-1)}$

$=xC_{-4}^{n}n!(1-x)^{-4-n}+nC_{-4}^{n-1}(n-1)!(1-x)^{-4-n+1}$

$易知$

$C_{-4}^{n}=\frac{(-4)\times(-5)\times...\times(-4-n+1)}{n!}=\frac{(-1)^n4\times5\times...\times(n+3)}{n!}=(-1)^nC_{n+3}^{n}$

$C_{-4}^{n-1}=(-1)^{n-1}C_{n+2}^{n-1}$

$所以$

$=x(-1)^nC_{n+3}^{n}n!(1-x)^{-4-n}+n(-1)^{n-1}C_{n+2}^{n-1}(n-1)!(1-x)^{-4-n+1}$

$=\frac{(n+3)!}{3!}x(x-1)^{-n-4}+\frac{n(n+2)!}{3!}(x-1)^{-n-3}$

$所以x^n前的系数为\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=C_{n+2}^{3}$