志愿者招募 HYSBZ - 1061（公式建图费用流）

转自神犇：https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3799759.html

题意：申奥成功后，布布经过不懈努力，终于 成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最 优的招募方案。

思路：

这个一个类影响一个区间，所以并不能像HDU - 3572 一样 按时间拆点

一系列每个变量等式左右各只出现一次的等式，然后用流量平衡建图即可。

所以列出公式求解

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i],每个志愿者的费用为V[i],第j天雇佣的人数为P[j],则每天的雇佣人数应满足一个不等式,如上表所述,可以列出

P[1]=X[1]+X[2]>=4

P[2]=X[1]+X[3]>=2

P[3]=X[3]+X[4]+X[5]>=5

P[4]=X[5]>=3

对于第i个不等式,添加辅助变量Y[i](Y[i]>=0),可以使其变为等式

P[1]=X[1]+X[2]-Y[1]=4

P[2]=X[1]+X[3]-Y[2]=2

P[3]=X[3]+X[4]+X[5]-Y[3]=5

P[4]=X[5]-Y[4]=3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0,每次用下边的式子减去上边的式子,得出

① P[1]-P[0]=X[1]+X[2]-Y[1]=4

② P[2]-P[1]=X[3]-X[2]-Y[2]+Y[1]=-2

③ P[3]-P[2]=X[4]+X[5]-X[1]-Y[3]+Y[2]=3

④ P[4]-P[3]=-X[3]-X[4]+Y[3]-Y[4]=-2

⑤ P[5]-P[4]=-X[5]+Y[4]=-3

观察发现,每个变量都在两个式子中出现了,而且一次为正,一次为负.所有等式右边和为0.我们将最后的五个等式进一步变形,得出以下结果

① -X[1]-X[2]+Y[1]+4=0

② -X[3]+X[2]+Y[2]-Y[1]-2=0

③ -X[4]-X[5]+X[1]+Y[3]-Y[2]+3=0

④ X[3]+X[4]-Y[3]+Y[4]-2=0

⑤ X[5]-Y[4]-3=0

可 以发现,每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减,右边都为0,恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的 流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加 汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求费用最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

接下来，根据上面五个等式构图。

（1）每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

（2）如果一个等式中的数字为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果为负整数-c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

（3）如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为-X[i]，在第k个等式中出现为+X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为INF，权值为V[i]的有向边。

（4）如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为-Y[i]，在第k个等式中出现为+Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为INF，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <cctype>
#include <set>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <bitset>
#define rap(i, a, n) for(int i=a; i<=n; i++)
#define rep(i, a, n) for(int i=a; i<n; i++)
#define lap(i, a, n) for(int i=n; i>=a; i--)
#define lep(i, a, n) for(int i=n; i>a; i--)
#define rd(a) scanf("%d", &a)
#define rlld(a) scanf("%lld", &a)
#define rc(a) scanf("%c", &a)
#define rs(a) scanf("%s", a)
#define rb(a) scanf("%lf", &a)
#define rf(a) scanf("%f", &a)
#define pd(a) printf("%d\n", a)
#define plld(a) printf("%lld\n", a)
#define pc(a) printf("%c\n", a)
#define ps(a) printf("%s\n", a)
#define MOD 2018
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define Pair pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define _  ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
//freopen("1.txt", "r", stdin);
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + , INF = 0x7fffffff, LL_INF = 0x7fffffffffffffff;
int n, m, s, t;
int head[maxn], d[maxn], vis[maxn], nex[maxn], f[maxn], p[maxn], cnt;
int xu[maxn], flow, value;

struct node
{
    int u, v, w, c;
}Node[maxn];

void add_(int u, int v, int w, int c)
{
    Node[cnt].u = u;
    Node[cnt].v = v;
    Node[cnt].w = w;
    Node[cnt].c = c;
    nex[cnt] = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

void add(int u, int v, int w, int c)
{
    add_(u, v, w, c);
    add_(v, u, -w, );
}

int spfa()
{
    for(int i = ; i < maxn; i ++) d[i] = INF;
    deque<int> Q;
    mem(vis, );
    mem(p, -);
    Q.push_front(s);
    d[s] = ;
    p[s] = , f[s] = INF;
    while(!Q.empty())
    {
        int u = Q.front(); Q.pop_front();
        vis[u] = ;
        for(int i = head[u];i != -; i = nex[i])
        {
            int v = Node[i].v;
            if(Node[i].c)
            {
                if(d[v] > d[u] + Node[i].w)
                {
                    d[v] = d[u] + Node[i].w;
                    p[v] = i;
                    f[v] = min(f[u], Node[i].c);
                    if(!vis[v])
                    {
                      //  cout << v << endl;
                        if(Q.empty()) Q.push_front(v);
                        else
                        {
                            if(d[v] < d[Q.front()]) Q.push_front(v);
                            else Q.push_back(v);
                        }
                        vis[v] = ;
                    }
                }
            }
        }
    }
    if(p[t] == -) return ;
    flow += f[t], value += f[t] * d[t];
   // cout << value << endl;
    for(int i = t; i != s; i = Node[p[i]].u)
    {
        Node[p[i]].c -= f[t];
        Node[p[i] ^ ].c += f[t];
    }
    return ;
}

void max_flow()
{
    flow = value = ;
    while(spfa());
    pd(value);
}

void init()
{
    mem(head, -);
    cnt = ;
}

int main()
{
    init();
    int u, v, w;
    rd(n), rd(m);
    s = , t = n + ;
    for(int i = ; i <= n; i++)
    {
        rd(xu[i]);
    }
    for(int i = ; i <= m; i++)
    {
        rd(u), rd(v), rd(w);
        add(u, v + , w, INF);
    }
    for(int i = ; i <= n+; i++)
    {
        int tmp = xu[i] - xu[i - ];
        if(tmp > ) add(s, i, , tmp);
        else add(i, t, , -tmp);
        if(i > ) add(i, i - , , INF);
    }
    max_flow();

    return ;
}