Bzoj4870 [SXOI2017]组合数问题

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 155  Solved: 78

Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

HINT

 

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

数学问题 组合数

震惊！考场上花式骗分竟然可以拿到80分！

正解：

　　这个东西当然没有什么既成的公式，需要用DP推公式，和平常的公式推DP正好反过来了。

　　发现这个式子的项覆盖了nk内所有%k==r的位置，那么可以考虑这个式子的组合意义——

　　在全部nk个物品中，选出任意个物品使得选出的物品数%k==r的方案数！

　　设f[考虑到第i个物品][选出数量%k==j]=方案数，于是变成了可以$O(n^3)$推出来的背包问题？

　　还可以更加简单粗暴，$f[2n][(i+j)%k]=\sum f[n][i]*f[n][j] $ $O(n^2 logn)$倍增出解。

 /*by SilverN*/
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int mxn=;
 int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>='' && ch<=''){x=x*-''+ch;ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int n,P,k,r;
 struct num{
     int x[];
     void init(){
         memset(x,,sizeof x);
     }
 }f;
 num calc(const num &a,const num &b){
     num res;
     res.init();
     for(int i=;i<=k;i++)
         for(int j=;j<=k;j++)
             (res.x[(i+j)%k]+=(LL)a.x[i]*b.x[j]%P)%=P;
     return res;
 }
 num ksm(num a,LL t){
     num res;
     res.init();res.x[]=;
     while(t){
         if(t&)res=calc(res,a);
         a=calc(a,a);
         t>>=;
     }
     return res;
 }
 int main(){
     int i,j;
     n=read();P=read();k=read();r=read();
     f.x[]=;
     f.x[%k]+=;
     f=ksm(f,(LL)n*k);
 //    for(i=0;i<=k;i++)printf("%d\n",f.x[i]);
     printf("%d\n",f.x[r]);
     return ;
 }