【BZOJ】3105: [cqoi2013]新Nim游戏

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3105

题意：k堆火柴，先手和后手在第一次拿的时候都能拿若干整堆火柴（但不能拿完），之后和nim游戏规则一样。问先手是否必胜且第一次最少拿多少能保证必胜。（k<=100）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int s[105], a[105], n;
bool cmp(const int &a, const int &b) { return a>b; }
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a, a+n, cmp);
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		int t=a[i];
		for(int j=31; j>=0; --j) if((t>>j)&1) {
			if(!s[j]) { s[j]=t; break; }
			t^=s[j];
		}
		if(!t) ans+=a[i];
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

　　

复（xue）习（xi）了下花神的冬令营课件。

先手只需保证拿完后不存在xor为0的子集即可，因此保证有解。

定义拟阵$M=(E, I)$，$E$就是给出的元素，权值为元素本身。$I = \{X | X \subseteq E, \forall Y \subseteq X 都满足xor意义下线性无关（即没有子集能xor为0）\}$。

那么本题就是求最大权值独立集（即最大权值的基）

证明$M$是一个拟阵：

遗传性：显然满足

独立集的交换性：令$A, B \in I$且$|A| > |B|$。由于$A$中元素线性无关，将$A$中元素按位放入矩阵，显然矩阵的秩为$|A|$。$B$同样，但是$B$的矩阵的秩$=|B|<|A|$，也就是说我们只需要将任意一个在$B$矩阵没有的位从$A$中找一个这个位为$1$的元素放入即可，使得$B$矩阵秩$+1$，因此$B$并上这个元素也是一个独立集，得证。

那么我们按权值排序从大到小加入即可～

如何判断线性无关呢？高斯消元（可以看做求秩矩阵）