【学术篇】SDOI2011 计算器

好一道三合一...(然而被我做成了四合一)

其实1 2 3是独立的OvO

然后就可以逐个分析了...

1

快速幂..就不说了..(我省选的时候有这么水的20pts部分分么←_←

2

两种做法(写在标题里面了)..

2.1(扩展欧几里得)

$xy\equiv z(mod\ p)$

很显然可以写成$xy=np+z$, 移项得$xy-np=z$

为保证$y,p$互质, 我们让两边同除$gcd(y,p)$, 也就是让$y,p,z$分别除$gcd(y,p)$

由扩展欧几里得, 如果$gcd(y,p)$不能整除$z$,那么方程无解...

处理完直接exgcd就行了.. 这样我们就能得到$xy-np=1$的解了.. 然后再乘个$z$后对p取模即可..

如果结果小于0呢? 我们可以$+z$,一直加到不再小于0

或者是可以用$p-(-p)\ mod\ b$这样的方式来处理...

2.2(费马小定理)

嘛,其实有一个更简单的角度OvO

$xy\equiv z(mod$ $p)$ ∴$x=y^{-1}*z$

所以我们求个逆元就完了OvO 由于$p$是质数, 而$y$一定不是$p$的倍数所以一定互质...

直接$x=z*y^{p-2}$就做完了...

3

BSGS板子...

BSGS算法原名Baby steps Giant steps算法又叫大步小步、北上广深、~~拔山盖世~~算法...

就是专门用来求对于给定$y,z$,满足$y^x\equiv z(mod\ p)$中的最小的x的方法...

其思路如下:

令$x=i*m-j$(这里写成减号方便移项), 则$y^{im-j}\equiv z(mod\ p)$
移项, $y^{im}\equiv z*y^j(mod\ p)$

然后我们枚举$i,j$即可...

这里的$m$我们取$\left \lceil \sqrt p \right \rceil$(可能是跟均值不等式有什么不可告人的关系吧??我也不知道)

之后先从$0\sim m$枚举$j$ ,将$z*y^j$存到表里...(开map大概就可以了OvO, 记得值相同就覆盖掉, 因为要求$im-j$的最小值, 所以要让$j$尽量大...)

然后从$1\sim m$枚举$i$ ,如果$y^{im}$在表里找到了相等的值, 那就找到了$x$, 而且$x$肯定是最小的..

这样就行了..具体实现可以看代码

代码

今天心情特别好, 所以写代码要压行... 然后这个三合一写了15行OvO

所以就出现了很难看的代码OvO...建议学习代码实现的还是去百度另寻高明吧OvO

#include <map>

#include <cmath>

#include <cstdio>

typedef long long LL;

std::map<LL,int> v;LL T,L,y,z,c;

#define NOANS	{puts("Orz, I cannot find x!");return;}

inline LL gn(LL a=0,char c=0){for(;c<48||c>57;c=getchar());for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a;}

LL qpow(LL a,LL b,LL p,LL s=1){for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1) s=s*a%p;return s;}

void B(){y%=c;z%=c;if(z&&!y)NOANS printf("%d\n",z*qpow(y,c-2,c)%c);} //这里用的费马(因为短)

void C(LL m=1,LL x=1,LL p=1){if(y%c==0)NOANS m=sqrt(c)+0.5;x=z;p=qpow(y,m,c);v.clear();

	for(LL j=0;j<=m;++j)v[x]=j,x=x*y%c;x=1;

	for(LL i=1;i<=m;++i){x=x*p%c;if(v[x]){printf("%lld\n",i*m-v[x]);return;}}

NOANS} //BSGS

void WORK(){T=gn(),L=gn();while(T--){y=gn(),z=gn(),c=gn();if(L==1)printf("%d\n",qpow(y,z,c));if(L==2)B();if(L==3)C();}}

int main(){WORK();}

//LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}

//void exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){!b?x=1,y=0:(exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x);}

//void B(LL a=0,LL b=0,LL d=0,LL x=0){a=y;b=-c;d=gcd(a,b);if(z%d)NOANS

//	a/=d;b/=d;z/=d;exgcd(a,b,x,y);x=x*z%b;if(x<0)x=b-(-x)%b;printf("%d\n",x);

//} //被注释的几行是2.1(扩欧的实现)