P3352-[ZJOI2016]线段树【dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3352

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题目大意

\(n\)个数字的一个序列，每次随机选择一个区间让这个区间所有数等于这个区间的最大值，重复\(q\)次，对每个位置求所有情况下这个位置的值的和。

\(1\leq n,q\leq 400\)，保证数据随机

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解题思路

设\(f_{k,l,r}\)表示使用了\(k\)次目前覆盖了极大区间\(l,r\)时的方案。

这个极大区间就是无法继续向左右扩展（就是左右两边是边界或者比这个区间内所有数都大），不然相同的方案会统计入不同的数组导致算重。

然后每次我们找一个数字开始向左右扩展到极大区间进行\(dp\)，然后\(dp\)方程是

\[f_{k,l,r}=f_{k-1,l,r}\times g_{l,r}+\sum_{i=L}^{l-1}f_{k-1,i,r}+\sum_{i=r+1}^{R}f_{k-1,l,i+1}
\]

也就是固定端点的情况下扩展极大区间，因为是反过来的所以这样是对的。

然后记录一个\(dp\)数组\(ans_{i,j}\)表示数字\(i\)至少为第\(j\)小的情况数，这个每次\(dp\)后都可以统计。

上面每个\(dp\)区间相当于笛卡尔树上的区间，因为数据随机，所以每个位置只会计算\(log\)次。

时间复杂度\(O(nq^2+n^3)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=410,P=1e9+7;
ll n,q,a[N],b[N],rk[N],f[2][N][N],ans[N][N],cnt[N];
void solve(ll x,ll L,ll R){
	for(ll i=L;i<=R;i++)
		for(ll j=i;j<=R;j++)
			f[0][i][j]=f[1][i][j]=0;
	f[0][L][R]=1;
	for(ll k=1;k<=q;k++){
		for(ll i=L;i<=R;i++)
			for(ll j=i;j<=R;j++)
				f[k&1][i][j]=f[~k&1][i][j]*(cnt[j-i+1]+cnt[i-1]+cnt[n-j]);
		for(ll i=L;i<=R;i++){
			ll buf=0;
			for(ll j=R;j>=i;j--){
				(f[k&1][i][j]+=buf)%=P;
				(buf+=f[~k&1][i][j]*(n-j))%=P;
			}
		}
		for(ll j=L;j<=R;j++){
			ll buf=0;
			for(ll i=L;i<=j;i++){
				(f[k&1][i][j]+=buf)%=P;
				(buf+=f[~k&1][i][j]*(i-1))%=P;
			}
		}
	}
	for(ll i=L;i<=R;i++){
		ll buf=0;
		for(ll j=R;j>=i;j--){
			(buf+=f[q&1][i][j])%=P;
			(ans[j][rk[x]]+=buf)%=P;
		}
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&q);
	for(ll i=1;i<=n;i++)cnt[i]=i*(i+1)/2;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		b[i]=a[i];
	}
	sort(b+1,b+1+n);
	ll m=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)rk[i]=lower_bound(b+1,b+1+m,a[i])-b;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll L=i,R=i;
		while(L>1&&a[L-1]<a[i])L--;
		while(R<n&&a[R+1]<a[i])R++;
		solve(i,L,R);
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll sum=0;
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			if(!ans[i][j]){continue;}
			for(ll k=1;k<j;k++)
				(ans[i][j]+=P-ans[i][k])%=P;
			(sum+=ans[i][j]*b[j]%P)%=P;
		}
		printf("%lld ",sum);
	}
	return 0;
}