【LOJ#2687】Vim（动态规划）

【LOJ#2687】Vim（动态规划）

题面

LOJ

题解

发现移动的路径一定是每次往后跳到下一个某个字符的位置，然后往回走若干步，删掉路径上的所有\(e\)，然后继续执行这个操作。

这里稍微介绍一下线头\(dp\)，大概是把转移的路径画出来，最终要求能形成一个环，而每一个需要\(dp\)的位置代表一个点，我们要从一个点转移过来，再从这个点转移出去，一进一出形成了一段弧线，我们要维护的就是这个弧线的形态。更加详细的可以参考这里。

因为我们的操作如此，所以我们把每次移动所跨越的区间做一个覆盖，不难发现要么被覆盖\(1\)次，要么被覆盖\(3\)次，以及一段后缀可能覆盖\(0\)次。

我们提前把\(e\)给删掉，这样子剩下的位置只有两种，一种是关键点，即某个\(e\)连续段后的第一个非\(e\)字符所在的位置。另外一种不是关键点，并且关键点之间不可能相邻

我们考虑记录这个状态，设\(f[i][j]\)表示当前在\(i\)位置，并且\(i,i+1\)之间的这条线段被覆盖的次数为\(1\)次的接下来要跳到\(j\)字母的最小代价。设\(g[i][j][k]\)表示当前在\(i\)位置，\(i,i+1\)要覆盖三次，因为被覆盖三次所以会有两次向后跳的操作，第一次跳到了\(j\)字符，第二次跳到了\(k\)字符的最小代价。注意到这个状态中，并不代表着是从\(i\)位置往后跳\(j\)，而是从\(i\)位置之前的某个位置到达\(i\)之后\(j\)字符的最小代价。

首先考虑\(f[i][j]\)的转移：

• 如果\(i\)位置不是\(e\)，并且\(s[i]\neq j\)那么可以从\(f[i-1][j]\)转移过来，显然不需要额外代价。
• 然后可以从\(f[i-1][s[i]]\)转移到\(f[i][j]\)，然后这里要进行一次\(f\)操作，而\(f\)后面还需要再跟上一个字符，所以代价为\(2\)。

接下来把\(g[i][j][k]\)也丢进来转移。

• 首先\(g[i][s[i]][k]\)等价于\(f[i][k]\)，所以\(f[i][j]\)可以从\(g[i][s[i]][k]\)转移过来，不需要代价。
• 接下来\(g[i][s[i]][s[i]]\)跳完之后还是在自己这个位置，所以\(f[i][j]\)可以由\(g[i][s[i]][s[i]]\)转移过来，代价为\(2\)。

然后考虑\(g\)怎么转移，先考虑\(g\)从\(f\)的转移

• 首先\(g[i][j][k]\)可以认为我们先走到\(j\)然后往回走一步使得\((i,i+1)\)被覆盖次数变成\(3\)，然后再跳到\(k\)，所以步数是\(f[i-1][k]+1+2\)
• 然后可以是先跳到\(i\)位置，再跳到\(j\)位置，再往回走，再跳到\(k\)位置，所以是\(g[i][j][k]\)可以由\(f[i-1][s[i]]+2+1+2\)
• 然后是我们可以从\(g[i-1][j][k]\)转移到\(g[i][j][k]\)，代价是\(1\)。因为要补上\((i,i+1)\)要被覆盖三次的代价。
• 然后可以从\(g[i-1][j][s[i]]\)转移到\(g[i][j][k]\)代价是\(3\)。
• 然后\(g[i-1][s[i]][k]\)转移到\(g[i][j][k]\)，代价是\(3\)。
• \(g[i-1][s[i]][s[i]]\)转移到\(g[i][j][k]\)，代价是\(5\)。

最后几个为啥是对的就和上面类似的分析就好了。

可以参考Itst博客的图

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 77777
int n,cnt,a[MAX],f[MAX][11],g[MAX][11][11];
char s[MAX];bool book[MAX];
void cmin(int &x,int y){x=x>y?y:x;}
int main()
{
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=s[i]-97;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		if(a[i]==4)++cnt;
		else if(a[i-1]==4)book[i]=true;
	memset(f,63,sizeof(f));memset(g,63,sizeof(g));
	f[0][a[1]]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(a[i]==4)
		{
			for(int j=0;j<11;++j)f[i][j]=f[i-1][j];
			for(int j=0;j<11;++j)
				for(int k=0;k<11;++k)
					g[i][j][k]=g[i-1][j][k];
			continue;
		}
		for(int j=0;j<11;++j)
		{
			if(j!=a[i]&&!book[i])cmin(f[i][j],f[i-1][j]);
			cmin(f[i][j],f[i-1][a[i]]+2);
			if(j!=a[i])cmin(f[i][j],g[i-1][a[i]][j]);
			cmin(f[i][j],g[i-1][a[i]][a[i]]+2);
			for(int k=0;k<11;++k)
			{
				if(j!=a[i])cmin(g[i][j][k],f[i-1][j]+3);
				cmin(g[i][j][k],f[i-1][a[i]]+5);
				if(j!=a[i]&&k!=a[i])cmin(g[i][j][k],g[i-1][j][k]+1);
				if(j!=a[i])cmin(g[i][j][k],g[i-1][j][a[i]]+3);
				if(k!=a[i])cmin(g[i][j][k],g[i-1][a[i]][k]+3);
				cmin(g[i][j][k],g[i-1][a[i]][a[i]]+5);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[n][10]+cnt*2-2);
	return 0;
}