Google面试题-高楼扔鸡蛋问题

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高楼扔鸡蛋问题   这个问题非常有名了  早几年之前面试的时候都遇到过，可是当时也确实没搞清楚怎么做，后来也没管了。今天网上偶然碰到，打算趁这个机会彻底搞清楚，就写一篇博文吧。

网上非常多资料，但我感觉都不太易懂，每一步的推导是为什么。

所以我这里仅仅想写一种比較简单、比較完整的推演流程。

题目描写叙述: （挑了一个比較严谨的描写叙述。问题描写叙述严谨非常重要。不然会影响解题思路）

一幢 100 层的大楼,给你两个鸡蛋. 假设在第 n 层扔下鸡蛋,鸡蛋不碎,那么从前 n-1 层扔鸡蛋都不碎.

这两仅仅鸡蛋一模一样,不碎的话能够扔无数次. 已知鸡蛋在0层扔不会碎.

提出一个策略, 要保证能測出鸡蛋恰好不会碎的楼层,
并使此策略在最坏情况下所扔次数最少.

问题分析：

1）最坏情况下所扔次数最少。比較绕口。想表达的意思是。在不明白知道哪一层会碎的情况下。要找到一种策略，通过最少的试验次数，得到临界楼层（恰好不会碎的楼层）。不明白知道。就须要考虑最糟糕的情况，并且这样的策略与其它策略相比是最糟糕的情况下，最少的试验次数。

2）假设一种扔法：第一个鸡蛋，从50楼扔下去。

假设碎了，第二个鸡蛋必须从1~49层逐层试验。假设第i层为临界层。且i≤49，这个时候，要试验的总次数是1 +（i - 1）。由于必须保证在没找到临界楼层之前，鸡蛋不能碎。假设没碎，则第一个鸡蛋能够接着从75层扔。

由于即使这次碎了，还有个鸡蛋，能够继续逐层试验。对第一个鸡蛋的继续从中间分，就比較合理。

3）假设到代数：假设第一枚鸡蛋扔下去的层数为i，则碎了的情况，须要扔的总次数最糟糕的情况是1 + ( i - 1 )；假设没碎，剩下的两个鸡蛋都在，须要扔的次数一定为1 + 用两枚鸡蛋来解决剩下的100 - i层的次数（这个问题跟原题是一样的。可是层数少了一些）。也就是 假设用f ( 100 )表示100层的最坏情况下的最少次数，那么从第i层扔鸡蛋的最糟糕的试验次数是 1+ Max( i - 1, f ( 100 - i ) )，Max表示这两者之间的最大值，是最最糟糕的情况了。

而 f ( 100 ) 就是对全部从1到100的全部i里。 1+ Max( i - 1, f ( 100 - i ) )的值最小的那个。

4）迭代公式： f ( 100 ) = Min ( 1 + Max ( i - 1, f (100 - i ) ) ) .   当中Max是针对的 i-1、 f ( 100 - i ) 两者 。 而Min是针对的全部的从1到100的i。

5）初始状态： 假设有一层，从第一层扔下去，无论碎不碎。最糟糕的情况也仅仅须要推断一次。 即 f ( 1 ) = 1。而如题所述，第0层不会碎，则 不用扔也知道，即f(0) = 0。

6）终于结论：题目变成了分析一个迭代公式的值。翻译成了计算机语言，剩下的就能够交给计算机了。

不须要知道怎么一步步算，这不应该是人干的事。仅仅须要知道已经变成了能够循环递归的算式，能够交给计算机即可了。

// 实现代码   <a target=_blank href="http://blog.csdn.net/lonelyrains">blog.csdn.net/lonelyrains</a>

#include <stdio.h>

// #define MAX((a),(b)) (a)>(b)?

(a):(b)  //注意这里也是常考的一点，应该写成以下的形式
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

int fun ( int layer )
{
	if ( layer <= 0 )
	{
		return 0;
	}

	if ( layer == 1 )
	{
		return 1;
	}

	int min = layer; // 一栋layer层的大楼试验次数肯定不可能超过layer次。
	int temp;
	for ( int i = 1; i <= layer; i++ )
	{
		temp = 1 + MAX(i-1, fun( layer - i ) );
		if( min > temp )
			min = temp;
	}

	return min;
}

int main()
{
	int layer = 19;
	printf("%d",fun(layer));
	return 0;
}

用上面的代码測试了一下，给layer赋值19。即针对一栋19层的大楼来算最坏情况的最少次数。就要非常长时间才干出结果了（果然18层是地狱）....

7）其它扩展：

① 问题的解法不止这一种描写叙述，并且不一定要交给计算机算。由于这样递归算。计算机要累死了。能够优化到用非常easy的数列求和公式得到。

关于怎么来的，有两种思路。能够參考以下的第二个參考链接给出的基于意义的理解。这是一种思路。可是比較难理解。第二种。就是纯粹的组合数学方法。将迭代公式转换成通项公式，这个问题还没找到有人这样写过，可是绝对能够有。

② 问题能够扩展为一栋n层的大楼，有m个鸡蛋。甚至不止一栋，而是p栋。 无论怎么样扩展，问题都能够归为找迭代公式。

这个思路就是动态规划的精髓。

8）參考链接：

http://www.zhihu.com/question/19690210

http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/9792821