Codeforces1101G (Zero XOR Subset)-less 【线性基】【贪心】

题目分析：

考虑到这是一个区间的异或问题，不妨求出前缀和，令$sum[i] = Xor_{j=1}^{i}a[j]$。

对于区间$[l,r]$的异或结果，等于$sum[r] \oplus sum[l-1]$。那么原问题等价于选尽量多的点$p_x$，使得这些点构成的$sum[p_x] \oplus sum[p_{x-1}]$的子集的异或非$0$。我们不断往前异或，可以把问题转化为选尽量多的$p_x$，使得$sum[p_x]$的子集的异或非$0$。这是因为这两者的线性基等价。

这样子这题就变成BZOJ2460的弱化版了。关于BZOJ2460的证明，我还没想到。但是这道题是它的弱化版，也就是$magic=1$的情况，我可以试着给出一个证明。

使用反证法，假设以不同的顺序插入线性基得到的答案是不同的，那么存在一种插入方式使得答案线性基为${a_i}$，另一种插入方式线性基为${b_i}$，$|{a_i}| > |{b_i}|$。现在只需说明$|{a_i}| = |{b_i}|$即可。

实际上这里有一个想法，就是任意一种插入方式构成的线性基能表示出的数是相同的，就能说明$|{a_i}| = |{b_i}|$。为什么？

想象一个二维空间和一个三维空间，坐标$(1,2,3)$不能在一个二维空间被表示不是吗？同理两个表示域相同的线性基的维度肯定相同，否则其中维度多的那个线性基的某一维肯定可以被其它维表示，这不符合线性基的定义。

假设现在存在一个数$x$，$a$线性基可以表示，$b$线性基表示不了。如果这个数属于原序列，那么它一定早就被插入了$b$线性基中，而不会被忽视。否则它一定能被原序列中的几个数所表示出来。但我们又发现$b$线性基可以表示出原序列中的任何数，那么利用这些表示方法同样可以表示出$x$，所以这样的数不存在。所以$|{a_i}| = |{b_i}|$。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn = ;

 int n,a[maxn];

 int p[];

 void read(){
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i] ^= a[i-];
 }

 void work(){
     if(a[n] == ){puts("-1");return;}
     for(int i=;i>=;i--)if(a[n] & (<<i)) {p[i] = a[n];break;}
     int ans = ;
     for(int i=;i<n;i++){
     for(int j=;j>=;j--){
         if(a[i] & (<<j)){
         if(p[j]) a[i] ^= p[j];
         else{p[j] = a[i];ans++;break;}
         }
     }
     }
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main(){
     read();
     work();
     return ;
 }