题解 洛谷 P2086 【[NOI2012]魔幻棋盘】

先考虑只有一维的情况，要求支持区间加和求区间 \(\gcd\)，根据 \(\gcd\) 的性质，发现：

\[ \gcd(a_1,a_2,a_3,\ldots a_n)=\gcd(a_i,a_2-a_1,a_3-a_2,\ldots a_n-a_{n-1})
\]

其中 \(a_i\) 为原序列 \(a\) 中的任意一个元素，其与序列 \(a\) 的差分序列的 \(\gcd\) 即为原序列的 \(\gcd\)。根据该性质，对于一维的情况，就可以通过线段树单点修改维护差分序列，区间查询 \(\gcd\) 来实现了。对于 \(a_i\)，根据修改维护其当前值即可。

然后考虑二维的情况，比如对于这样的一个 \(4 \times 4\) 的矩形：

\[\begin{aligned}
a_{1,1}\quad a_{1,2}\quad a_{1,3}\quad a_{1,4} \\
a_{2,1}\quad a_{2,2}\quad a_{2,3}\quad a_{2,4} \\
a_{3,1}\quad a_{3,2}\quad a_{3,3}\quad a_{3,4} \\
a_{4,1}\quad a_{4,2}\quad a_{4,3}\quad a_{4,4}
\end{aligned}
\]

设棋盘守护者的位置为 \((x,y)\)，先对每一行进行差分，得：

\[\begin{aligned}
a_{1,y}\quad a_{1,2}-a_{1,1}\quad a_{1,3}-a_{1,2}\quad a_{1,4}-a_{1,3} \\
a_{2,y}\quad a_{2,2}-a_{2,1}\quad a_{2,3}-a_{2,2}\quad a_{2,4}-a_{2,3} \\
a_{3,y}\quad a_{3,2}-a_{3,1}\quad a_{3,3}-a_{3,2}\quad a_{3,4}-a_{3,3} \\
a_{4,y}\quad a_{4,2}-a_{4,1}\quad a_{4,3}-a_{4,2}\quad a_{4,4}-a_{4,3}
\end{aligned}
\]

对每一行来维护差分序列，根据每一行的 \(\gcd\)，就能求得整个矩形的 \(\gcd\)。发现这样实现复杂度依然无法接受，于是对每一列也进行差分，也就是进行二维差分，得：

\[\begin{aligned}
&a_{x,y}\qquad\qquad\qquad\quad a_{x,2}-a_{x,1}\qquad\qquad\qquad\quad a_{x,3}-a_{x,2}\qquad\qquad\qquad\quad a_{x,4}-a_{x,3} \\\\
&a_{2,y}-a_{1,y}\qquad a_{2,2}-a_{2,1}-a_{1,2}+a_{1,1}\qquad a_{2,3}-a_{2,2}-a_{1,3}+a_{1,2}\qquad a_{2,4}-a_{2,3}-a_{1,4}+a_{1,3} \\\\
&a_{3,y}-a_{2,y}\qquad a_{3,2}-a_{3,1}-a_{2,2}+a_{2,1}\qquad a_{3,3}-a_{3,2}-a_{2,3}+a_{2,2}\qquad a_{3,4}-a_{3,3}-a_{2,4}+a_{2,3} \\\\
&a_{4,y}-a_{3,y}\qquad a_{4,2}-a_{4,1}-a_{3,2}+a_{3,1}\qquad a_{4,3}-a_{4,2}-a_{3,3}+a_{3,2}\qquad a_{4,4}-a_{4,3}-a_{3,4}+a_{3,3}
\end{aligned}
\]

发现二维差分后的这个矩形的 \(\gcd\) 即为原矩形的 \(\gcd\)。然后考虑维护，对于第一行和第一列，去掉位置 \((1,1)\) 的 \(a_{x,y}\) 后剩下的序列，其为一维上的问题，用两个一维线段树维护即可。对于去掉第一行和第一列的剩下的矩形，用二维线段树维护即可。两者都是只用支持单点修改和区间查询。对于 \(a_{x,y}\)，根据修改维护其当前值即可。

二维线段树可以用树套树或者四分树来实现，因为树套树的空间不好处理，并且题目中也说明了查询是随机的，所以我这里用四分树来实现二维线段树了。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000010
#define maxm 32000010
#define a(i,j) a[(i-1)*m+j]
#define b(i,j) b[(i-1)*m+j]
#define ls (cur<<1)
#define rs (cur<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
#define midx ((u+d)>>1)
#define midy ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,m,sx,sy,q,root,rt=1,tree_cnt;
int uls[maxm],urs[maxm],dls[maxm],drs[maxm];
ll w;
ll a[maxn],b[maxn],val[maxm];
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):abs(a);
}
void build(int u,int d,int l,int r,int &cur)
{
    if(u>d||l>r) return;
    if(!cur) cur=++tree_cnt;
    if(u==d&&l==r)
    {
        val[cur]=b(u,l);
        return;
    }
    build(u,midx,l,midy,uls[cur]),build(u,midx,midy+1,r,urs[cur]);
    build(midx+1,d,l,midy,dls[cur]),build(midx+1,d,midy+1,r,drs[cur]);
    val[cur]=gcd(gcd(val[uls[cur]],val[urs[cur]]),gcd(val[dls[cur]],val[drs[cur]]));
}
void modify(int u,int d,int l,int r,int x,int y,ll v,int cur)
{
    if(l==r&&u==d)
    {
        val[cur]+=v;
        return;
    }
    if(x<=midx)
    {
        if(y<=midy) modify(u,midx,l,midy,x,y,v,uls[cur]);
        else modify(u,midx,mid+1,r,x,y,v,urs[cur]);
    }
    else
    {
        if(y<=midy) modify(midx+1,d,l,midy,x,y,v,dls[cur]);
        else modify(midx+1,d,midy+1,r,x,y,v,drs[cur]);
    }
    val[cur]=gcd(gcd(val[uls[cur]],val[urs[cur]]),gcd(val[dls[cur]],val[drs[cur]]));
}
ll query(int U,int D,int L,int R,int u,int d,int l,int r,int cur)
{
    if(U>D||L>R) return 0;
    if(U<=u&&D>=d&&L<=l&&R>=r) return val[cur];
    ll v=0;
    if(U<=midx)
    {
        if(L<=midy) v=gcd(v,query(U,D,L,R,u,midx,l,midy,uls[cur]));
        if(R>midy) v=gcd(v,query(U,D,L,R,u,midx,midy+1,r,urs[cur]));
    }
    if(D>midx)
    {
        if(L<=midy) v=gcd(v,query(U,D,L,R,midx+1,d,l,midy,dls[cur]));
        if(R>midy) v=gcd(v,query(U,D,L,R,midx+1,d,midy+1,r,drs[cur]));
    }
    return v;
}
struct Segment_Tree
{
    ll a[maxn],val[maxn];
    void build(int l,int r,int cur)
    {
        if(l==r)
        {
            val[cur]=a[l];
            return;
        }
        build(l,mid,ls),build(mid+1,r,rs);
        val[cur]=gcd(val[ls],val[rs]);
    }
    void modify(int l,int r,int pos,ll v,int cur)
    {
        if(l==r)
        {
            val[cur]+=v;
            return;
        }
        if(pos<=mid) modify(l,mid,pos,v,ls);
        else modify(mid+1,r,pos,v,rs);
        val[cur]=gcd(val[ls],val[rs]);
    }
    ll query(int L,int R,int l,int r,int cur)
    {
        if(L>R) return 0;
        if(L<=l&&R>=r) return val[cur];
        ll v=0;
        if(L<=mid) v=gcd(v,query(L,R,l,mid,ls));
        if(R>mid) v=gcd(v,query(L,R,mid+1,r,rs));
        return v;
    }
}T1,T2;
int main()
{
    read(n),read(m),read(sx),read(sy),read(q);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            read(a(i,j));
    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=1;j<m;++j)
            b(i,j)=a(i+1,j+1)-a(i,j+1)-a(i+1,j)+a(i,j);
    for(int i=1;i<n;++i) T1.a[i]=a(i+1,sy)-a(i,sy);
    for(int i=1;i<m;++i) T2.a[i]=a(sx,i+1)-a(sx,i);
    w=a(sx,sy),build(0,n,0,m,root),T1.build(0,n,root),T2.build(0,m,root);
    while(q--)
    {
        int u,d,l,r,opt;
        ll v;
        read(opt),read(u),read(l),read(d),read(r);
        if(!opt)
        {
            u=sx-u,l=sy-l,d=sx+d,r=sy+r;
            v=gcd(w,query(u,d-1,l,r-1,0,n,0,m,root));
            v=gcd(v,gcd(T1.query(u,d-1,0,n,rt),T2.query(l,r-1,0,m,rt)));
            printf("%lld\n",v);
        }
        else
        {
            read(v);
            if(sx>=u&&sx<=d&&sy>=l&&sy<=r) w+=v;
            if(sy>=l&&sy<=r) T1.modify(0,n,u-1,v,rt),T1.modify(0,n,d,-v,rt);
            if(sx>=u&&sx<=d) T2.modify(0,m,l-1,v,rt),T2.modify(0,m,r,-v,rt);
            modify(0,n,0,m,u-1,l-1,v,root),modify(0,n,0,m,d,r,v,root);
            modify(0,n,0,m,u-1,r,-v,root),modify(0,n,0,m,d,l-1,-v,root);
        }
    }
    return 0;
}