算法笔记--字典树（trie 树）&& ac自动机 && 可持久化trie
字典树
简介：字典树，又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是哈希树的变种。
优点：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较。
性质：根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符； 从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串； 每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。
操作：
记trie[i][j]表示第i个节点的第j个儿子为哪个节点，tot为总的节点个数
插入：
void insert() {
int len = strlen(s);
int rt = ;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
if(!trie[rt][id])trie[rt][id] = ++tot;
rt = trie[rt][id];
// sum[rt]++;
}
//vis[rt] = true;
}
查询：
①如果查询的是某个单词是否出现，可以开一个bool类型的数组vis[i]表示第i个节点是否为单词的结尾
②如果查询的是某个前缀出现了多少次，可以开一个int类型的数组sum[i]表示以第i个节点为结尾的前缀出现的次数
int find() {
int len = strlen(s);
int rt = ;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
if(!trie[rt][id]) return ;
rt = trie[rt][id];
}
return sum[rt];//或者vis[rt]
}
清空：每次新开一个节点，将他的儿子都清空（对应多组，每组加起来不超过某个值的情况，不能每次都memset）。
指针版：
struct node {
int cnt;
node *next[];
node() {
cnt = ;
memset(next, , sizeof(next));
}
};
node *rt;
void init() {
rt = new node();
}
void Insert() {
int len = strlen(s);
node *p = rt;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
if(p -> next[id] == NULL) p -> next[id] = new node();
p = p -> next[id];
p -> cnt ++;
}
}
int Find() {
int len = strlen(s);
node *p = rt;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
if(p -> next[id] == NULL) return ;
p = p -> next[id];
}
return p -> cnt;
}
例题1：hdu 1251
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 5e5 + ;
int trie[N][], sum[N], tot = ;
char s[];
void Insert(int len) {
int rt = ;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
if(!trie[rt][id])trie[rt][id] = ++tot;
rt = trie[rt][id];
sum[rt]++;
}
}
int Find(int len) {
int rt = ;
for (int i = ; i < len; i++) {
int id = s[i] - 'a';
//cout << s[i] << id <<endl;
if(!trie[rt][id]) return ;
rt = trie[rt][id];
}
return sum[rt];
}
int main() {
int tot = ;
while(~ scanf("%c", &s[tot++])) {
if(s[tot - ] == '\n') {
if(tot == ) break;
else {
Insert(tot - );
tot = ;
}
}
}
tot = ;
while(~ scanf("%c", &s[tot++])) {
if(s[tot - ] == '\n') {
printf("%d\n", Find(tot - ));
tot = ;
}
}
return ;
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) const int N=5e5+;
int trie[N][];
int sum[N];
int tot=;
char s[];
void insert(){
int len=strlen(s);
int root=;
for(int i=;i<len;i++){
int id=s[i]-'a';
if(!trie[root][id])trie[root][id]=++tot;
root=trie[root][id];
sum[root]++;
}
}
int find(){
int len=strlen(s);
int root=;
for(int i=;i<len;i++){
int id=s[i]-'a';
if(!trie[root][id])return ;
root=trie[root][id];
}
return sum[root];
}
int main(){
while(gets(s)!=NULL){
if(s[]=='\0')break;
insert();
}
while(gets(s)!=NULL){
printf("%d\n",find());
}
return ;
}
例题2：SPOJ Phone List
代码：
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1.0)
#define LL long long
//#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls rt<<1, l, m
#define rs rt<<1|1, m+1, r
#define ULL unsigned LL
#define pll pair<LL, LL>
#define pii pair<int, int>
#define piii pair<pii, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define fopen freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stout);
//head const int N = 1e4 + ;
int trie[N*][], sum[N*], tot = ;
string s[N];
bool insert(string s) {
int rt = ;
bool f = true, ff = false;
for (int i = ; i < s.size(); i++) {
int id = s[i] - '';
if(!trie[rt][id]) trie[rt][id] = ++tot, f = false;
rt = trie[rt][id];
if(sum[rt]) ff = true;
}
sum[rt] ++;
return f||ff;
}
int main() {
fio;
int T, n;
cin >> T;
while(T--) {
cin >> n;
for (int i = ; i <= n; i++) cin >> s[i];
bool f = false;
mem(trie, );
mem(sum, );
tot = ;
for (int i = ; i <= n; i++) {
if(insert(s[i])) f = true;
if(f) break;
}
if(f) printf("NO\n");
else printf("YES\n");
}
return ;
}
例题3：Codeforces 948 D - Perfect Security
思路：构建01字典树求最小异或值
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 3e5 + ;
int a[N], p[N], tot = ;
int trie[N*][], cnt[N*];
void insert(int x) {
int rt = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(!trie[rt][id])trie[rt][id] = ++tot;
cnt[trie[rt][id]]++;
rt = trie[rt][id];
}
}
int find(int x) {
int rt = , res = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(cnt[trie[rt][id]] >= ) {
cnt[trie[rt][id]] --;
if(id) res += <<i;
rt = trie[rt][id];
}
else {
cnt[trie[rt][!id]] --;
if(!id) res += <<i;
rt = trie[rt][!id];
}
}
return res;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%d", &p[i]);
insert(p[i]);
}
for (int i = ; i <= n; i++) {
printf("%d%c", find(a[i])^a[i], " \n"[i==n]);
}
return ;
}
例题4： HDU 4825 Xor Sum
思路：构建01字典树求最大异或值
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 1e5 + ;
int trie[N*][];
int a[N], tot = ;
void insert(int x) {
int rt = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(!trie[rt][id]) trie[rt][id] = ++tot;
rt = trie[rt][id];
}
}
int find(int x){
int rt = , res = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(trie[rt][!id])res += <<i, rt = trie[rt][!id];
else rt = trie[rt][id];
}
return res;
}
int main() {
int T, n, m, t;
scanf("%d", &T);
for (int i = ; i <= T; i++) {
printf("Case #%d:\n", i);
scanf("%d%d", &n, &m);
mem(trie, );
tot = ;
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), insert(a[i]);
while(m--) scanf("%d", &t), printf("%d\n", find(t)^t);
}
return ;
}
例题5：Codeforces 706 D - Vasiliy's Multiset
思路：构建01字典树求最大异或值
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 2e5 + ;
int trie[N*][], cnt[N*], tot = ;
void insert(int x) {
int rt = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(!trie[rt][id])trie[rt][id] = ++tot;
cnt[trie[rt][id]]++;
rt = trie[rt][id];
}
}
void delet(int x) {
int rt = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
cnt[trie[rt][id]]--;
rt = trie[rt][id];
}
}
int find(int x) {
int rt = , res = ;
for (int i = ; i >= ; i--) {
int id = (x>>i)&;
if(cnt[trie[rt][!id]] >= ) {
res += <<i;
rt = trie[rt][!id];
}
else rt = trie[rt][id];
}
return res;
}
int main() {
int q, t;
scanf("%d", &q);
char s[];
insert();
while(q--) {
scanf("%s %d", s, &t);
if(s[] == '+') {
insert(t);
}
else if(s[] == '-') {
delet(t);
}
else if(s[] == '?') {
printf("%d\n", find(t));
}
}
return ;
}
参考：
http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6290732.html
ac自动机
KMP 是单模式串字符串匹配，ac自动机是多模式串字符串匹配
ac自动机是建立在字典树的基础上的，采用的是KMP的思想，
与KMP不同的是，ac自动机是构建失配指针fail来实现跳跃的，fail指针指向的是相同后缀的上一个模式串的位置。
1.建树与字典树相同
2.构建失配指针fail
在求当前节点 u 的失配指针时，保证深度比当前节点低的节点的fail指针都已经被求出来了，
假设当前节点的父亲为p, p连向u的边的编号是i
那么看tree[fail[p]][i]存在否？
如果存在，那么fail[u] = tree[fail[p]][i]
如果不存在，那么看tree[fail[fail[p]]][i]存在否?以此类推，一直往上找，直到找到根节点结束。（在用bfs构建失配指针时，这一步可以采用递推路径压缩优化成O(1)，不用一直往上找。）
3.查找，一开始查找到当前位置的最大后缀，统计模式串的个数，然后跳到上一个后缀，统计个数，以此类推，直到为空为止。
模板：
struct AC_automation {
int tree[N][], tot = ;
int cnt[N];
int fail[N];
void init() {
for (int i = ; i <= tot; i++) {
for (int j = ; j < ; j++) {
tree[i][j] = ;
}
cnt[i] = ;
fail[i] = ;
}
tot = ;
}
void insert(char s[]) {
int rt = ;
for (int i = ; s[i]; i++) {
int id = s[i]-'a';
if(!tree[rt][id]) tree[rt][id] = ++tot;
rt = tree[rt][id];
}
cnt[rt]++;
}
void build() {
queue<int> q;
for (int i = ; i < ; i++) if(tree[][i]) q.push(tree[][i]);
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = ; i < ; i++) {
if(tree[u][i]) {
fail[tree[u][i]] = tree[fail[u]][i];
q.push(tree[u][i]);
}
else tree[u][i] = tree[fail[u]][i];
}
}
}
int query(char t[]) {
int rt = , res = ;
for (int i = ; t[i]; i++) {
int id = t[i] - 'a';
rt = tree[rt][id];
for (int j = rt; j && ~cnt[j]; j = fail[j]) res += cnt[j], cnt[j] = -;
}
return res;
}
};
参考：https://www.luogu.org/blog/42196/qiang-shi-tu-xie-ac-zi-dong-ji
可持久化trie
和可持久线段树差不多
01可持久化trie模板：
//在old版本上修改
void update(int old, int &rt, int v) {
rt = ++tot;
int now = rt;
for (int i = ; i >= ; --i) {
if(v&(<<i)) trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
else trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
now = trie[now][(v>>i)&];
old = trie[old][(v>>i)&];
sz[now] = sz[old] + ;
}
}
//查询区间中某个数和x亦或最大
int query(int l, int r, int x) {
int res = ;
for (int i = ; i >= ; --i) {
int id = (x>>i)&;
if(sz[trie[r][!id]]-sz[trie[l][!id]]) l = trie[l][!id], r = trie[r][!id], res |= <<i;
else l = trie[l][id], r = trie[r][id];
}
return res;
}
//查询区间中某个数和x亦或第k小
int query(int l, int r, int k, int x) {
int ans = ;
for (int i = ; i >= ; --i) {
int id = (x>>i)&;
int num = cnt[trie[r][id]] - cnt[trie[l][id]];
if(k <= num) l = trie[l][id], r = trie[r][id];
else ans |= <<i, l = trie[l][id^], r = trie[r][id^], k -= num;
}
return ans;
}
注意root[0]要添加一个值为0的
代码：
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define y1 y11
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1.0)
#define LL long long
//#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls rt<<1, l, m
#define rs rt<<1|1, m+1, r
#define ULL unsigned LL
#define pll pair<LL, LL>
#define pli pair<LL, int>
#define pii pair<int, int>
#define piii pair<pii, int>
#define pdd pair<double, double>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
//head const int N = 3e5 + , M = 2e7 + ;
int trie[M][], sz[M], root[N*], a[N*], tot = , n, m, l, r, x;
char op[];
void update(int old, int &rt, int v) {
rt = ++tot;
int now = rt;
for (int i = ; i >= ; --i) {
if(v&(<<i)) trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
else trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
now = trie[now][(v>>i)&];
old = trie[old][(v>>i)&];
sz[now] = sz[old] + ;
}
}
int query(int l, int r, int x) {
int res = ;
for (int i = ; i >= ; --i) {
int id = (x>>i)&;
if(sz[trie[r][!id]]-sz[trie[l][!id]]) l = trie[l][!id], r = trie[r][!id], res |= <<i;
else l = trie[l][id], r = trie[r][id];
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]), a[i] ^= a[i-];
update(, root[], );
for (int i = ; i <= n; ++i) update(root[i-], root[i], a[i]);
for (int i = ; i <= m; ++i) {
scanf("%s", op);
if(op[] == 'A') {
scanf("%d", &x);
a[++n] = x;
a[n] ^= a[n-];
update(root[n-], root[n], a[n]);
}
else {
scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
l--, r--;
if(l) printf("%d\n", query(root[l-], root[r], x^a[n]));
else printf("%d\n", query(, root[r], x^a[n]));
}
}
return ;
}
PS:可持久化字典树还可以用求区间字典序第k小的字符串，和主席树差不多的方法
HZNUOJ Little Sub and Sequence
思路：求第k大，如果只有Xor，那么建可持久化trie树，查询时根据Xor这一位来决定先往左儿子走还是先往右儿子走
这道题的话将将Or和And的影响转移到Xor上面，转移方法：
Or产生影响的时候是某一位为1，这时候将所有数字这一位强制变为0，Xor这位变成1，这样亦或以后就是1
And产生影响的时候是某一位为0，这时候将所有数字这一位强制变为0，Xor这位变成0，这样亦或以后就是0
所以每一位最多被强制变成0一次，所以强制变0时暴力修改可持久化trie，最多修改30次
代码：
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define y1 y11
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1.0)
#define LL long long
//#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls rt<<1, l, m
#define rs rt<<1|1, m+1, r
#define ULL unsigned LL
#define pll pair<LL, LL>
#define pli pair<LL, int>
#define pii pair<int, int>
#define piii pair<pii, int>
#define pdd pair<double, double>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
//head const int N = 5e4 + , M = 2e6 + ;
const int up = INT_MAX;
int a[N], trie[M][], root[N], cnt[M], tot = , Xor = , brute = up, n, q, x, l, r, k;
char s[];
bool vis[];
void update(int old, int &rt, int x) {
rt = ++tot;
int now = rt;
for (int i = ; i >= ; --i) {
if(x&(<<i)) trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
else trie[now][] = trie[old][], trie[now][] = ++tot;
now = trie[now][(x>>i)&];
old = trie[old][(x>>i)&];
cnt[now] = cnt[old] + ;
}
}
int query(int l, int r, int d, int k) {
if(d == -) return ;
int ans = ;
int id = (Xor>>d)&;
int num = cnt[trie[r][id]] - cnt[trie[l][id]];
ans = <<d;
if(k <= num) ans = query(trie[l][id], trie[r][id], d-, k);
else ans += query(trie[l][id^], trie[r][id^], d-, k - num);
return ans;
}
void reset() {
tot = ;
for (int i = ; i <= n; ++i) a[i] = a[i]&brute;
for (int i = ; i <= n; ++i) update(root[i-], root[i], a[i]);
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &q);
for (int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
reset();
for (int i = ; i <= q; ++i) {
scanf("%s", s);
if(s[] == 'X') {
scanf("%d", &x);
Xor ^= x;
}
else if(s[] == 'O') {
brute = up;
scanf("%d", &x);
for (int i = ; i >= ; --i) {
if(x&(<<i)) {
if(!vis[i]) {
vis[i] = true;
brute ^= <<i;
}
Xor |= <<i;
}
}
if(brute != up) reset();
}
else if(s[] == 'n') {
brute = up;
scanf("%d", &x);
for (int i = ; i >= ; --i) {
if(!(x&(<<i))) {
if(!vis[i]) {
vis[i] = true;
brute ^= <<i;
}
if(Xor&(<<i)) Xor ^= <<i;///放在判断外面
}
}
if(brute != up) reset();
}
else {
scanf("%d %d %d", &l, &r, &k);
printf("%d\n", query(root[l-], root[r], , k));
}
}
return ;
}
/*
5 100
0 0 0 0 0
Ask 1 5 1
Or 1
Ask 1 5 1
And 0
Ask 1 5 1
*/
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