B-概率论-条件概率

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• 条件概率
• 一、条件概率简介
• 二、条件概率推广

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条件概率

一、条件概率简介

条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：\(p(A|B)\)，读作“在B的条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么
\[
p(A|B) = {\frac{p(AB)}{p(B)}}
\]
其中\(p(AB)\)表示\(A\)和\(B\)同时发生的概率，\(p(B)\)表示\(B\)发生的概率。

二、条件概率推广

上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
设\(A_1,A_2,\ldots,{A_n}\)为任意\(n\)个事件\((n\geq2)\)且\(p(A_1A_2\ldots{A_n})>0\)，通过条件概率可得
\[
\begin{align}
p(A_1A_2\ldots{A_n}) & = p(A_1A_2\ldots{A_{n-1}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})\\
& = p(A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_{n-1}|A_1A_2\ldots{A_{n-2}})p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}}) \\
& \cdots \\
& = p(A_1)p(A_2|A_1)\cdots{p(A_n|A_1A_2\ldots{A_{n-1}})}
\end{align}
\]