Ford-Fulkerson 最大流算法

流网络（Flow Networks）指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s （source）和汇点 t（sink）。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。

下图展示了一个流网络实例。

设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：

• 容量限制（Capacity Constraint）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。
• 反对称性（Skew Symmetry）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。
• 流守恒性（Flow Conservation）：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σ_v∈Vf(u, v) = 0。

f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σ_v∈Vf(s, v)，即从源点 s 出发的总流。

最大流问题（Maximum-flow problem）中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。

满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：

• 经过边的流不能超过边的容量；
• 除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；

上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。

上图的最大流为 23，流向如下图所示。

Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：

1. 残留网络（Residual networks）
2. 增广路径（Augmenting paths）
3. 割（Cut）

这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。

最大流最小割定理

如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

1. f 是 G 的一个最大流。
2. 残留网络 G_f 不包含增广路径。
3. 对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。

Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。

 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t)
   initialize flow f to
   while there exists an augmenting path p
     do augment flow f along p
   return f

上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。

C# 代码实现如下：

 using System;
 using System.Collections.Generic;
 using System.Linq;

 namespace GraphAlgorithmTesting
 {
   class Program
   {
     static void Main(string[] args)
     {
       Graph g = new Graph();
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );
       g.AddEdge(, , );

       Console.WriteLine();
       Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);
       Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);
       Console.WriteLine();

       int maxFlow = g.FordFulkerson(, );
       Console.WriteLine("The Max Flow is : {0}", maxFlow);

       Console.ReadKey();
     }

     class Edge
     {
       public Edge(int begin, int end, int weight)
       {
         this.Begin = begin;
         this.End = end;
         this.Weight = weight;
       }

       public int Begin { get; private set; }
       public int End { get; private set; }
       public int Weight { get; private set; }

       public override string ToString()
       {
         return string.Format(
           "Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",
           Begin, End, Weight);
       }
     }

     class Graph
     {
       private Dictionary<int, List<Edge>> _adjacentEdges
         = new Dictionary<int, List<Edge>>();

       public Graph(int vertexCount)
       {
         this.VertexCount = vertexCount;
       }

       public int VertexCount { get; private set; }

       public IEnumerable<int> Vertices
       {
         get
         {
           return _adjacentEdges.Keys;
         }
       }

       public IEnumerable<Edge> Edges
       {
         get
         {
           return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e);
         }
       }

       public int EdgeCount
       {
         get
         {
           return this.Edges.Count();
         }
       }

       public void AddEdge(int begin, int end, int weight)
       {
         if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))
         {
           var edges = new List<Edge>();
           _adjacentEdges.Add(begin, edges);
         }

         _adjacentEdges[begin].Add(new Edge(begin, end, weight));
       }

       public int FordFulkerson(int s, int t)
       {
         int u, v;

         // Create a residual graph and fill the residual graph with
         // given capacities in the original graph as residual capacities
         // in residual graph
         int[,] residual = new int[VertexCount, VertexCount];

         // Residual graph where rGraph[i,j] indicates
         // residual capacity of edge from i to j (if there
         // is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not)
         for (u = ; u < VertexCount; u++)
           for (v = ; v < VertexCount; v++)
             residual[u, v] = ;
         foreach (var edge in this.Edges)
         {
           residual[edge.Begin, edge.End] = edge.Weight;
         }

         // This array is filled by BFS and to store path
         int[] parent = new int[VertexCount];

         // There is no flow initially
         int maxFlow = ;

         // Augment the flow while there is path from source to sink
         while (BFS(residual, s, t, parent))
         {
           // Find minimum residual capacity of the edhes along the
           // path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow
           // through the path found.
           int pathFlow = int.MaxValue;
           for (v = t; v != s; v = parent[v])
           {
             u = parent[v];
             pathFlow = pathFlow < residual[u, v]
               ? pathFlow : residual[u, v];
           }

           // update residual capacities of the edges and reverse edges
           // along the path
           for (v = t; v != s; v = parent[v])
           {
             u = parent[v];
             residual[u, v] -= pathFlow;
             residual[v, u] += pathFlow;
           }

           // Add path flow to overall flow
           maxFlow += pathFlow;
         }

         // Return the overall flow
         return maxFlow;
       }

       // Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in
       // residual graph. Also fills parent[] to store the path.
       private bool BFS(int[,] residual, int s, int t, int[] parent)
       {
         bool[] visited = new bool[VertexCount];
         for (int i = ; i < visited.Length; i++)
         {
           visited[i] = false;
         }

         Queue<int> q = new Queue<int>();

         visited[s] = true;
         q.Enqueue(s);
         parent[s] = -;

         // standard BFS loop
         while (q.Count > )
         {
           int u = q.Dequeue();

           for (int v = ; v < VertexCount; v++)
           {
             if (!visited[v]
               && residual[u, v] > )
             {
               q.Enqueue(v);
               visited[v] = true;
               parent[v] = u;
             }
           }
         }

         // If we reached sink in BFS starting from source,
         // then return true, else false
         return visited[t] == true;
       }
     }
   }
 }

运行结果如下：

参考资料

• 广度优先搜索
• 深度优先搜索
• Breadth First Traversal for a Graph
• Depth First Traversal for a Graph
• Dijkstra 单源最短路径算法
• Bellman-Ford 单源最短路径算法
• Bellman–Ford algorithm
• Introduction To Algorithm
• Floyd-Warshall's algorithm
• Bellman-Ford algorithm for single-source shortest paths
• Dynamic Programming | Set 23 (Bellman–Ford Algorithm)
• Dynamic Programming | Set 16 (Floyd Warshall Algorithm)
• Johnson’s algorithm for All-pairs shortest paths
• Floyd-Warshall's algorithm
• 最短路径算法--Dijkstra算法，Bellmanford算法，Floyd算法，Johnson算法
• QuickGraph, Graph Data Structures And Algorithms for .NET
• CHAPTER 26: ALL-PAIRS SHORTEST PATHS

本篇文章《Ford-Fulkerson 最大流算法》由 Dennis Gao 发表自博客园，未经作者本人同意禁止任何形式的转载，任何自动或人为的爬虫转载行为均为耍流氓。