洛谷 P4495 [HAOI2018]奇怪的背包 解题报告

P4495 [HAOI2018]奇怪的背包

题目描述

小\(C\)非常擅长背包问题，他有一个奇怪的背包，这个背包有一个参数\(P\)，当他 向这个背包内放入若干个物品后，背包的重量是物品总体积对\(P\)取模后的结果． 现在小\(C\)有\(n\)种体积不同的物品，第\(i\)种占用体积为\(V_i\)，每种物品都有无限个． 他会进行\(q\)次询问，每次询问给出重量\(w_i\)，你需要回答有多少种放入物品的方案，能将一个初始为空的背包的重量变为\(w_i\)．注意，两种方案被认为是不同的， 当且仅当放入物品的种类不同，而与每种物品放入的个数无关．不难发现总的方案数为\(2^n\). 由于答案可能很大，你只需要输出答案对\(1e9+7\)取模的结果．

输入输出格式

输入格式

第一行三个整数\(n,q,P\)，含义见问题描述. 接下来一行\(n\)个整数表示\(V_i\). 接下来一行\(q\)个整数表示\(w_i\).

输出格式：

输出\(q\)行，每行一个整数表示答案．

说明

对于所有数据，有\(1\le n,q\le 10^6,3 \le P \le 10^9,0 < V_i,w_i < P\),保证\(V_i\)两两不同。

测试点标号	\(n\)	\(q\)	\(p\)
\(1\)	\(=1\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^9\)
\(2\)	\(\le 10\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10\)
\(3\)	\(\le 10\)	\(\le 10^3\)	\(\le 250\)
\(4\)	\(\le 10\)	\(\le 10^3\)	\(\le 250\)
\(5\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^4\)
\(6\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^4\)
\(7\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^3\)	\(=998244353\)
\(8\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^3\)	\(\le 10^9\)
\(9\)	\(\le 10^6\)	\(\le 10^6\)	\(\le 10^9\)
\(10\)	\(\le 10^6\)	\(\le 10^6\)	\(\le 10^9\)

---

是什么限制了我做题的想象力。。

我们要求

\[\sum x_ia_i \equiv w_i \pmod p
\]

有多少个解，换成方程，即

\[\sum x_ia_i -py =w_i
\]

有裴蜀定理可以猜到，有解的要求是\(gcd(x_1,x_2,\dots,x_n,p)|w_i\)

于是我们可以做\(DP\)，令\(dp_{i,j}\)表示前\(i\)个数选择的数的\(gcd\)和\(p\)做\(gcd\)后的结果为\(j\)

发现这样的状态是\(O(nd(p))\)的，\(d(p)\)表示\(p\)的约数个数

我们可以把\(V_i\)与\(p\)的\(gcd\)相同的放在一起做，这样状态就优化到了\(O(d^2(p))\)了

转移的时候要求\(gcd\)，那么\(dp\)的总复杂度就是\(O(d^2(p)\log p)\)的

最后对每个\(w_i\)统计答案是\(\sum_{i|w_i}dp_{n,i}\)，不可以暴力统计，注意到是可以实现预处理的。

总复杂度\(O(\sqrt p+d^2(p)\log p+n\log p+q)\)的

---

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e6+10;
const int M=2010;
const ll mod=1e9+7;
int n_,n,q,p,v[N],siz[N],cnt;
ll dp[M][M],f[M],d[M],po[N];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int Find(int x){return std::lower_bound(d+1,d+1+cnt,x)-d;}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n_,&q,&p);
    po[0]=1;
    for(int i=1;i<=n_;i++)
    {
        scanf("%d",v+i);
        v[i]=gcd(v[i],p);
        po[i]=(po[i-1]<<1ll)%mod;
    }
    std::sort(v+1,v+1+n_);
    for(int i=1;i<=n_;i++)
    {
        if(v[i]==v[n])
            ++siz[n];
        else
            v[++n]=v[i],siz[n]=1;
    }
    for(int i=1;i*i<=p;i++)
        if(p%i==0)
            d[++cnt]=p/i,d[++cnt]=i;
    std::sort(d+1,d+1+cnt);
    cnt=std::unique(d+1,d+1+cnt)-d-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            int pos=Find(gcd(v[i+1],d[j]));
            (dp[i+1][pos]+=dp[i][j]*(po[siz[i+1]]-1)%mod)%=mod;
            (dp[i+1][j]+=dp[i][j])%=mod;
        }
        (dp[i+1][Find(gcd(v[i+1],p))]+=po[siz[i+1]]-1)%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            if(d[i]%d[j]==0)
                (f[i]+=dp[n][j])%=mod;
    for(int w,i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&w);
        printf("%lld\n",f[Find(gcd(w,p))]);
    }
    return 0;
}

---

2018.10.31