[Everyday Mathematics]20150118

设 $X$ 是线性空间, $\phi_1,\cdots,\phi_n,\phi$ 是 $X$ 上的线性泛函, 试证: $$\bex \phi\in \span\sed{\phi_1,\cdots,\phi_n}\ \lra \cap_{k=1}^n \ker \phi_i\subset \ker \phi. \eex$$

证明: $\ra$: $$\beex \bea &\quad \phi\in \span\sed{\phi_1,\cdots,\phi_n}\\ &\ra \phi=\sum c_k\phi_k\\ &\ra \phi(x)=\sum c_k\phi_k(x)=0,\quad \forall\ x\in\cap_{k=1}^n\ker \phi_k. \eea \eeex$$ $\la$: 用反证法. 若 $\phi\not\in \span\sed{\phi_1,\cdots,\phi_n}$, 则由 Hahn-Banach 定理, 存在 $x\in X=X^{**}$, 使得 $$\bex \sef{x_0,\phi}=1,\quad \sef{x_0,\phi_k}=0,\quad k=1,\cdots,n. \eex$$ 于是 $$\bex x_0\in\cap_{k=1}^n \ker \phi_k,\quad x_0\not\in \ker \phi. \eex$$