Sumdiv

题目链接

题意：求a^b的所有约数之和mod9901。

思路：因为一个数A能够表示成多个素数的幂相乘的形式。即A=(a1^n1)*(a2^n2)*(a3^n3)...(am^nm)。所以这个题就是要求

(1+a1+a1^2+...a1^n1)*(1+a2+a2^2+...a2^n2)*(1+a3+a3^2+...a3^n2)*...(1+am+am^2+...am^nm) mod 9901。

对于每一个(1+a1+a1^2+...a1^n1) mod 9901

等于 (a1^(n1+1)-1)/(a1-1) mod 9901，这里用到逆元的知识：a/b mod c = (a mod (b*c))/ b

所以就等于(a1^(n1+1)-1)mod (9901*(a1-1)) / (a1-1)。

至于前面的a1^(n1+1)，快速幂。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int a,b,m,ans=,mod=;
int p[],c[];
void devide(int n)
{
    m=;
    for(int i=;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==)
        {
            p[++m]=i;
            c[m]=;
            while(n%i==)
            {
                n/=i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n>)
    p[++m]=n,c[m]=;
}
int power(int a,ll b)
{
    int c=;
    for(;b;b>>=)
    {
        if(b&)
        c=(ll)c*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    devide(a);
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        if((p[i]-)%mod==)
        {
            ans=((ll)b*c[i]+)%mod*ans%mod;
            continue;
        }
        int x=pow(p[i],(ll)b*c[i]+);
        x=(x-+mod)%mod;
        int y=p[i]-;
        y=power(y,mod-);
        ans=(ll)ans*x%mod*y%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}