牛顿切线法


中心思想:

  利用目标函数二阶泰勒多项式的最优解作为函数的近似最优解。如果新的近似最优解满足计算精度,则终止计算,否则将函数在新点展开成二阶泰勒多项式,用新的泰勒多项式的最优解作为函数的近似最优解,如此迭代,直到倒数为零或者其绝对值小于事先给定的精度 e 为止。

计算过程:

  设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上是严格下凸的,即二阶导数 f ''(x) > 0 ,并且存在点 x*∈(a,b) 使得 f'(x*)=0 。此时必有 f'(a)·f'(b) < 0,任取x0∈[a,b],将 f(x) 在 x处展开,有:

令:

则:

则 f(x)≈p(x) ,p(x) 是二次函数,其最小值点位于:

用 p(x) 的最小值点作为 f(x) 的最小值点 x1 的近似值,然后再利用 f(x) 在 x1 处的泰勒展开式的二次多项式的最小值点作为 f(x) 的近似值点 x2 ,如此迭代下去,得:

于是,当 xn 收敛时,设

则有:

即 f'(x*)=0 ,从而得到 f(x) 的最小值点 x* 。

在例题中实现C++程序设计:

例:编写牛顿切线法的计算程序计算函数 f(x)=2x3-12x+9 在区间 [-1,3] 上的最小值,精度取0.001。

在 Dev 编译器中 C++ 代码如下:

运行程序结果如下:

由于作者水平有限,文中不当之处还望看到的朋友指出,谢谢!

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