BZOJ3997:[TJOI2015]组合数学(DP,Dilworth定理)

Description

给出一个网格图，其中某些格子有财宝，每次从左上角出发，只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形，假设每个格子中有好多财宝，而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝，至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Input

第一行为正整数T，代表数据组数。

每组数据第一行为正整数N，M代表网格图有N行M列，接下来N行每行M个非负整数，表示此格子中财宝数量，0代表没有

Output

输出一个整数，表示至少要走多少次。

Sample Input

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

Sample Output

10

HINT

N<=1000,M<=1000.每个格子中财宝数不超过10^6

Solution

由$Dilworth$定理可知，最小链覆盖=最大反链=最大独立集
当时我就懵逼了……啥是反链啊？……
链是一个点的集合，这个集合中任意两个元素$v$、$u$，要么$v$能走到$u$，要么$u$能走到$v$。
反链就是是一个点的集合，这个集合中任意两点谁也不能走到谁。= =
那么左上角为$(1,1)$，右下角为$(n,m)$，设$f[i][j]$表示矩形$(i,j),(1,m)$内的最长反链。
$f[i][j]=max(f[i][j+1],f[i-1][j],f[i-1][j+1]+a[i][j])$

Code

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #define N (1009)
 using namespace std;

 int T,n,m,a[N][N],f[N][N];

 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     while (T--)
     {
         memset(f,,sizeof(f));
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for (int i=; i<=n; ++i)
             for (int j=; j<=m; ++j)
                 scanf("%d",&a[i][j]);
         for (int i=; i<=n; ++i)
             for (int j=m; j>=; --j)
                 f[i][j]=max(max(f[i][j+],f[i-][j]),f[i-][j+]+a[i][j]);
         printf("%d\n",f[n][]);
     }
 }