【POJ 1830】 开关问题 （高斯消元）

开关问题

 

Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。 
每组测试数据的格式如下： 
第一行 一个数N（0 < N < 29） 
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。 
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。 
接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。 

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0

Sample Output

4
Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明： 
一共以下四种方法： 
操作开关1 
操作开关2 
操作开关3 
操作开关1、2、3 （不记顺序） 

 

 

【分析】

 

　　这是我打的第一高斯消元哦，啊~别人都说这题经典这题水，可是我还是打了很久，而且！—还不算很懂..

　　不知道高斯消元是好懂还是不好懂~

某些开关的动作可能影响另一些开关的状态,因此以开关为节点，如果存在这种关系就加入一条有向边（开始我想成对称的了，浪费了很多时间- -），这样就构成了一个图，可以用邻接矩阵表示（但是要转置一下，后面细说）。当某个开关按下时，其自身状态改变，受其影响的开关的状态也改变。

用两个N维向量表示初始状态和结束状态，两者逐个元素异或，就得到了开关状态的变化。

以第一个样例输入为例分析，3个开关，两两相连，初始状态000，最终状态111，开关对应的邻接矩阵为

将对角线的0全部换成1，得矩阵A=

将矩阵每一列想象为一个开关按下后产生的效果（1表示状态翻转，0表示不变），比如，第二列就表示按下第二个开关，则第二个开关的本身状态要改变（这就是把对角线0换成1的原因），受第二个开关影响的开关j状态也要改变，恰好对应邻接矩阵中A[j, 2]=1

把A写成分块矩阵的形式，每一列作为一个子矩阵，则有A=[a₁, a₂, a₃],此处a_i均为列

向量，设第i个开关按下次数为x_i，x_i=0或1（开关按两下和没按是等效的，0/1就够了）

记初始状态b0=[0,0,0],最终状态b1=[1,1,1],则状态变化b=b0^b1=[1,1,1],这里b也是列

向量。目标就是求x₁a₁  + x₂a₂ +x₃a₃ = b的解的个数（此处的加是模2加，也就是异或，下同）

这个方程可以写成

下面就是解这个线性方程组

对增广矩阵[A b]做初等行变换，化成阶梯形（高斯消元法），如果存在[0,0,…,0,1]的行，就是无解；如果存在r行[0,0,…,0,0]，就意味着有r个自由变量，因为这里的变量只取0/1，所以有2^r个解；如果不存在[0,0,…,0,*]，即把最后一行去掉后不存在全0行，则A为满秩矩阵，则方程组有唯一解。

转自：http://www.cnblogs.com/fstang/archive/2013/01/24/2874231.html

本题代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 40

 int a[Maxn],b[Maxn];
 int t[Maxn][Maxn];

 int n;

 void debug()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=n+;j++)
         {
             printf("%d ",t[i][j]);
         }
         printf("\n");
     }printf("\n");
 }

 void init()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x;
         scanf("%d",&x);
         a[i]^=x;
     }
     memset(t,,sizeof(t));
     while()
     {
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         if(x==&&y==) break;
         // t[x][y]=1;
         t[y][x]=;
     }
     for(int i=;i<=n;i++) t[i][i]=;
     for(int i=;i<=n;i++) t[i][n+]=a[i];
 }

 int ffind()
 {
         // debug();
     int l=,r=;
     while(l<=n&&r<=n)
     {
         if(t[l][r]==)
         {
             for(int i=l+;i<=n;i++) if(t[i][r]==)
             {
                 for(int j=r;j<=n+;j++)
                 {
                     swap(t[i][j],t[l][j]);
                 }
                 break;
             }
         }
         // debug();
         if(t[l][r]==)
         {
             r++;continue;
         }
         for(int i=l+;i<=n;i++) if(t[i][r]==)
         {
             for(int j=r;j<=n+;j++)
                 t[i][j]^=t[l][j];

         }
         // printf("%d %d:\n",l,r);
         // debug();
         l++,r++;
     }

     //无解
     for(int i=l;i<=n;i++)
     {
         if (t[i][n+]!=) return -;
     }
     return <<(n-l+);
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         init();
         int ans=ffind();
         if(ans==-) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
         else printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }

[POJ 1830]

2016-09-26 22:09:29

---

第一道题照例总结:

看了一个高斯消元的总结，代码写得很漂亮，分类很清楚，还有注释，我就是看这个懂了一点点的。。

慢慢看代码就懂了~

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn = 105;

int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num;

void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}

inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b != 0)
    {
        t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

inline int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss(void)
{
    int i, j, k;
    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
    int ta, tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    // 转换为阶梯阵.
    col = 0; // 当前处理的列.
		// Debug();
    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    { // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r = k;
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
        }
        if (max_r != k)
        { // 与第k行交换.
            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
		// Debug();
        if (a[k][col] == 0)
        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--; continue;
        }
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        { // 枚举要删去的行.
            if (a[i][col] != 0)
			{
                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
                for (j = col; j < var + 1; j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
                }
			}
			// Debug();
        }
		// Debug();
    }
    Debug();
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
	return 0;
}

int main(void)
{
    int i, j;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
	    memset(x, 0, sizeof(x));
	    memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
        // Debug();
        free_num = Gauss();
        if (free_num == -1) printf("无解!\n");
		else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

　　

比如我们做这个矩阵

我们看一看他的过程(点开看)：

   - -
 - -
  -
 -    

 -
 - -
  -
   - - 

 -
  -
  -
   - - 

 -
  -
  -
   - - 

 -
  -
  -
   - - 

 -
  -
  -
   - - 

 -
  -
  -
   - - 

 -
  -
   -
   - - 

 -
  -
   -  

 -
  -
   -  

 -
  -
   -  

 -
  -
   -  

 -
  -
   -  

 -
  -
   -  

 x1: -
 x2: -
 x3: 

output

总的来说就是：

*目标：梯形矩阵

init：构造增广矩阵

1.把某行这列最大的交换上来

2.把这列下面的都变成0，（利用这行的值进行初等行变换）

3.判断解的类型

涉及到一个概念：矩阵的轶 [上度娘]

感觉就是，独立的行是有用的，不能用前面进行初等行变换而得到的，就是说不会把它系数全部变成0的。

矩阵的轶就是化成阶梯矩阵后系数全0行的行数。

    推论1  线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A B)=n  。

    推论2  线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)＝r(A B)<n 。

无穷解时还涉及概念 自由未知量

未完待续。。。

2016-09-26 22:09:33