[CSP-S模拟测试]:chess（数学）

题目描述

　　$dirty$在一个棋盘上放起了棋子。
　　棋盘规格为$n\times m$，他希望任意一个$n\times n$的区域内都有$C$个棋子。$dirty$很快就放置好了一个满足条件的棋盘方案，但是他认为这样过于简单了，他希望知道有多少个满足条件的方案。

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输入格式

输入三个整数$n,m,C$，含义如题所述。

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输出格式

输出一行一个整数，表示答案对$10^9+7$取模的结果。

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样例

样例输入：

2 3 1

样例输出：

6

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数据范围与提示

对于$20\%$的数据，$n,K\leqslant 4$；
对于另外$20\%$的数据，$m=n$；
对于另外$20\%$的数据，$n\leqslant 50$；
对于$100\%$的数据，$1\leqslant n\leqslant 100$；$1\leqslant m\leqslant 10^{18}$；$1\leqslant C\leqslant n^2$

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题解

又没有打正解……

设$dp[i][j]$表示第$i$列放了$j$个的方案数。

$m$很大，显然不能爆扫，所以还要乘上系数，那么式子就变成了：

$$dp[i][j]=\sum \limits_{k=0}^j (C_n^{j-k})^{\frac{m}{n}}\times dp[i-1][k]$$

初值$dp[0][0]=1$。

预处理系数最有时间复杂度为：$\Theta(n\times c^2)$的。

又因为选$c$个和选$n^2-c$个的方案数是一样的，所以我们可以用这种方式优化。

但是$n=m$的点还是需要特判。

时间复杂度：$\Theta(n\times c^2)$。

期望得分：$60$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,c;
long long m;
long long C[1001][1001];
long long dp[1001][10001],wzc[1001][10001];
long long jc[10001],inv[10001];
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
void pre_work()
{
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	jc[0]=1;
	for(long long i=1;i<=n*n;i++)
		jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;
	inv[n*n]=qpow(jc[n*n],mod-2);
	for(long long i=n*n;i;i--)
		inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
long long get_C(long long x,long long y){return ((jc[x]*inv[y])%mod*inv[x-y])%mod;}
long long lucas(long long x,long long y)
{
	if(!y)return 1;
	return (get_C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod))%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d%lld%d",&n,&m,&c);
	pre_work();
	if(n==m)
	{
		printf("%lld",lucas(n*n,c));
		return 0;
	}
	if(n*n<c*2)c=n*n-c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long flag=m/n;
		if(i<=m%n)flag++;
		flag%=(mod-1);
		for(int j=0;j<=c;j++)
			dp[i][j]=qpow(C[n][j],flag);
	}
	wzc[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=c;j++)
			for(int k=0;k<=j;k++)
				wzc[i][j]=(wzc[i][j]+wzc[i-1][k]*dp[i][j-k]%mod)%mod;
	printf("%lld",wzc[n][c]);
	return 0;
}

---

rp++