[问题2014A05] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第七教学周）

[问题2014A05]  (1) 设 \(x_1,x_2\cdots,x_n,x\) 都是未定元, \(s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\,(k\geq 1)\), \(s_0=n\), 试求下列行列式的值:

\[|A|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} & 1 \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_n & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ s_n & s_{n+1} & \cdots & s_{2n-1} & x^n \end{vmatrix}.\]

(2) 设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 阶方阵, 试求下列行列式的值:

\[\begin{vmatrix} a_{11} &  &  & a_{12} &  & \cdots &  & a_{1n} &  & \\  & \ddots &  &  & \ddots &  & \ddots &  & \ddots & \\  &  & a_{11} &  &  & a_{12} &   & \cdots &  & a_{1n} \\ a_{21} &  &  & a_{22} &  & \cdots &  & a_{2n} &  & \\  & \ddots &  &  & \ddots &  & \ddots &  & \ddots & \\  &  & a_{21} &  &  & a_{22} &  & \cdots &  & a_{2n} \\ \vdots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} &  &  & a_{n2} &  & \cdots &  & a_{nn} &  & \\  & \ddots &  &  & \ddots &  & \ddots &  & \ddots & \\  &  & a_{n1} &  &  & a_{n2} &  & \cdots &  & a_{nn} \\ \end{vmatrix},\]

其中每个 \(a_{ij}\) 各重复 \(m\) 次.