[问题2014S07] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第七教学周）

[问题2014S07]  设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式, \(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(P_i(\lambda)^{e_i}\) 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明: \(A\) 在 \(\mathbb{K}\) 上相似于分块对角阵 \[\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda)^{e_1}),F(P_2(\lambda)^{e_2}),\cdots,F(P_k(\lambda)^{e_k})\}.\]

试用上述结论证明第三届全国大学生数学竞赛初赛一道试题：

设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶方阵. 证明: \(A\) 相似于\[\left( \begin{array}{cc} B & 0 \\ 0 & C \end{array} \right),\] 其中 \(B\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的可逆阵, \(C\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的幂零矩阵, 即存在 \(m\) 使得 \(C^m=0\).