计蒜客 - Fantastic Graph

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/31447

知识点：　　最大流

题目大意：

　　给定一个二分图，左边有 $N$ 个点，右边有 $M$ 个点，给出 $K$ 条边。问是否能从这 $K$ 条边中找出若干条边使得每个点的度数都在 $[L,R]$ 中。

　　$1 \le N \le 2000, 0 \le M \le 2000, 0 \le K \le 6000, 0 \le L,R \le 300$

解题思路：

　　不难想到这是一个无源无汇有容量下界网络的可行流问题。

　　先建一个小源点 $s$ 和小汇点 $t$，一个大源点 $ss$ 和一个大汇点 $st$。从 $st$ 连一条边到 $ss$，从 $ss$ 连一条边到 $s$，从 $t$ 连一条边到 $st$，容量均为 $INF$。 然后将题目给定的边连进网络图中，容量均为 $1$。

　　对于 $s$ 连向左边每一点（设为 $u$）的边，需要限制它们的流量下界为 $L$，上界为 $R$，做法是从 $s$ 向 $u$ 连一条容量为 $R-L$ 的边，从 $ss$ 向 $u$ 连一条容量为 $L$ 的边，再从 $s$ 连一条容量为 $L$ 的边到大汇点。如果所有容量为 $L$ 的附加边都满流，则证明有可行流，输出"Yes"。

AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int MAXN = ;//点数的最大值
 const int MAXM = ;//边数的最大值
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 struct Edge
 {
     int to,next,cap,flow;
 }edge[MAXM];//注意是MAXM
 int tol;
 int head[MAXN];
 int gap[MAXN],dep[MAXN],cur[MAXN];
 void init(){
     tol = ;
     memset(head,-,sizeof(head));
 }
 void addedge(int u,int v,int w,int rw = ){
     edge[tol].to = v; edge[tol].cap = w; edge[tol].flow = ;
     edge[tol].next = head[u]; head[u] = tol++;
     edge[tol].to = u; edge[tol].cap = rw; edge[tol].flow = ;
     edge[tol].next = head[v]; head[v] = tol++;
 }
 int Q[MAXN];
 void BFS(int start,int end){
     memset(dep,-,sizeof(dep));
     memset(gap,,sizeof(gap));
     gap[] = ;
     int front = , rear = ;
     dep[end] = ;
     Q[rear++] = end;
     while(front != rear){
         int u = Q[front++];
         for(int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next){
             int v = edge[i].to;
             if(dep[v] != -)continue;
             Q[rear++] = v;
             dep[v] = dep[u] + ;
             gap[dep[v]]++;
         }
     }
 }
 int S[MAXN];
 int sap(int start,int end,int N){
     BFS(start,end);
     memcpy(cur,head,sizeof(head));
     int top = ;
     int u = start;
     int ans = ;
     while(dep[start] < N){
         if(u == end){
             int Min = INF;
             int inser;
             for(int i = ;i < top;i++)
                 if(Min > edge[S[i]].cap - edge[S[i]].flow){
                     Min = edge[S[i]].cap - edge[S[i]].flow;
                     inser = i;
                 }
             for(int i = ;i < top;i++){
                 edge[S[i]].flow += Min;
                 edge[S[i]^].flow -= Min;
             }
             ans += Min;
             top = inser;
             u = edge[S[top]^].to;
             continue;
         }
         bool flag = false;
         int v;
         for(int i = cur[u]; i != -; i = edge[i].next){
             v = edge[i].to;
             if(edge[i].cap - edge[i].flow && dep[v]+ == dep[u]){
                 flag = true;
                 cur[u] = i;
                 break;
             }
         }
         if(flag){
             S[top++] = cur[u];
             u = v;
             continue;
         }
         int Min = N;
         for(int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next)
     　　    if(edge[i].cap - edge[i].flow && dep[edge[i].to] < Min){
        　　     Min = dep[edge[i].to];
      　　       cur[u] = i;
      　　   }
         gap[dep[u]]--;
         if(!gap[dep[u]])return ans;
         dep[u] = Min + ;
         gap[dep[u]]++;
         if(u != start)u = edge[S[--top]^].to;
     }
     return ans;
 }
 int rec[MAXM<<],cnt;
 int main(){
     int N,M,K,kase=;
     while(~scanf("%d%d%d",&N,&M,&K)){
         int L,R,cnt=;
         scanf("%d%d",&L,&R);
         init();
         int s=N+M+,t=N+M+,ss=N+M+,st=N+M+;
         addedge(st,ss,INF);
         for(int i=;i<K;i++){
             int u,v;
             scanf("%d%d",&u,&v);
             addedge(u,v+N,);
         }
         for(int i=;i<=N;i++){
             rec[cnt++]=tol;
             addedge(ss,i,L);
             rec[cnt++]=tol;
             addedge(s,st,L);
             addedge(s,i,R-L);
         }
         for(int i=;i<=M;i++){
             rec[cnt++]=tol;
             addedge(ss,t,L);
             rec[cnt++]=tol;
             addedge(i+N,st,L);
             addedge(i+N,t,R-L);
         }
         addedge(ss,s,INF);
         addedge(t,st,INF);
         sap(ss,st,N+M+);
         LL tot=;
         for(int i=;i<cnt;i++)  tot+=edge[rec[i]].flow;
         printf("Case %d: ",kase++);
         if(tot==1ll*L*cnt)  puts("Yes");
         else    puts("No");
     }

     return ;
 }