[物理学与PDEs]第1章第2节 预备知识 2.2 Ampere-Biot-Savart 定律, 静磁场的散度与旋度

1. 电流密度, 电荷守恒定律

(1) 电荷的定向移动形成电流.

(2) 电流密度 ${\bf j}$, 是描述导体内一点在某一时刻电流流动情况的物理量, 用单位时间内通过垂直于电流方向的单位面积的电荷量来衡量.

(3) 电荷守恒定律: 设 $\vGa$ 为一封闭曲面, 则单位时间内 $\vGa$ 内电荷的增加量 $=$ 这段时间内经 $\vGa$ 流入的电荷总和, 用公式表示为 $$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}\int_\Omega \rho\rd V =-\int_\vGa {\bf j}\cdot{\bf n}\rd S. \eex$$ 而可化为微分形式 $$\bex \rho_t+\Div {\bf j}=0. \eex$$ 称为电流的连续性方程.

2. Amp\'ere-Biot-Savart 定律, 磁感强度

(1) 磁场是一种空间, 于其中运动的电荷 (电流) 受到力的作用.

(2) 磁场是物质存在的一种形式, 它可以离开电流而独立存在, 比如变化的电场产生磁场.

(3) 在稳定的电流分布 ${\bf j}(x,y,z)$ 中, $P$ 处的电流元 ${\bf j}(P)\rd V_P$ 受到 $P'$ 处的电流元 ${\bf j}(P')\rd V_{P'}$ 的作用力为 $$\bex \cfrac{\mu_0}{4\pi} {\bf j}(P)\rd V_P\times \sex{\cfrac{{\bf j}(P')\rd V_{P'}\times {\bf r}_{P'P}}{r_{P'P}^3}}, \eex$$ 其中 $\mu_0=4\pi\times 10^{-7}V\cdot s/(A\cdot m)$ 为真空中的磁导率.

(4) 设电流分布的空间为 $\Omega$, 则 ${\bf j}(P)\rd V_P$ 所受的力为 $$\bex \rd {\bf F}(P)={\bf j}(P)\rd V_P\times \int_\Omega\cfrac{{\bf j}(P')\rd V_{P'}\times {\bf r}_{P'P}}{r_{P'P}^3}. \eex$$ 令 $$\bex {\bf B}(P)=\int_\Omega\cfrac{{\bf j}(P')\rd V_{P'}\times {\bf r}_{P'P}}{r_{P'P}^3} \eex$$ 为 $P$ 处的磁感强度, 则 $$\bex \rd {\bf F}(P)={\bf j}(P)\rd V_P\times {\bf B}(P). \eex$$ 这就是 Amp\'ere-Biot-Savart 定律.

3. Amp\'ere 定理的积分形式: 对静磁场中的任一闭曲线 $l$, $$\bex \oint_l{\bf B}\cdot \rd{\bf l} =\mu_0\int_S {\bf j}\cdot {\bf n}\rd S, \eex$$ 其中 $S$ 为任一以 $l$ 为边界的有向曲面, 其方向与 $l$ 成右手定则.

证明:

(1) 先对 ${\bf B}$ 化简: $$\beex \bea {\bf B}(P)&=\cfrac{\mu_0}{4\pi} \int_\Omega\cfrac{{\bf j}(P')\rd V_{P'}\times {\bf r}_{P'P}}{r_{P'P}^3}\\ &=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega \n\cfrac{1}{r_{P'P}} \times {\bf j}(P')\rd V_{P'}\\ &=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega \sez{ \rot\sex{\cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}} -\cfrac{1}{r_{P'P}}\rot {\bf j}(P') \rd V_{P'}}\\ &\quad\sex{\rot(\phi{\bf A})=\n\phi\times {\bf A}+\phi\rot {\bf A}}\\ &=\rot {\bf A}(P)\quad\sex{{\bf A}(P)=\cfrac{\mu_0}{4\pi} \int_\Omega \cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}}, \eea \eeex$$ 其中最后一步我们利用了稳定磁场是 (有源) 无旋场.

(2) 如此, $$\bex \Div {\bf B}(P)\ra \int_S {\bf B}\cdot\n \rd S=0\quad\sex{\forall\ \mbox{封闭曲面 }S}. \eex$$ 静磁场是无源场.

(3) $$\beex \bea \int_l{\bf B}\cdot\rd {\bf l} &=\int_S \rot{\bf B}\cdot{\bf n}\rd S\\ &=\int_S\rot\rot {\bf A}\cdot{\bf n}\rd S\\ &=\int_S (-\lap {\bf A}+\n\Div{\bf A})\rd S\\ &\equiv I_1+I_2. \eea \eeex$$

(4) 对 $I_1$, 注意到 $-\cfrac{1}{4\pi}\int_\Omega \cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}$ 为 $-\lap{\bf u}={\bf j}$ 的解, 而 $$\bex I_1=\int_S \mu_0{\bf j}\cdot{\bf n}\rd S. \eex$$

(5) 对 $I_2$, 注意到 $$\beex \bea \Div {\bf A}(P)&=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega \Div \cfrac{{\bf j}(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}\\ &=\cfrac{\mu_0}{4\pi} \int_\Omega \n\cfrac{1}{r_{P'P}}\cdot{\bf j}(P')\rd V_{P'}\\ &\quad\sex{\Div(f{\bf X})=\n f \cdot {\bf X}+f\Div {\bf X},\ \Div{\bf j}=0\la (2. 21)}\\ &=-\cfrac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega \n'\cfrac{1}{r_{P'P}}\cdot {\bf j}(P')\rd V_{P'}\\ &=-\cfrac{\mu_0}{4\pi}\sez{ \int_{\p \Omega}\cfrac{1}{r_{P'P}}{\bf j}(P')\cdot{\bf n}\rd S -\int_\Omega \cfrac{1}{r_{P'P}}\Div'{\bf j}(P')\rd V_{P'} }\\ &=0, \eea \eeex$$ 我们有 $I_2=0$.

(6) 于是 $$\bex \oint_l{\bf B}\cdot{\bf n}\rd {\bf l} =\mu_0\int_S{\bf j}\cdot{\bf n}\rd S. \eex$$

4. Amp\'ere 定理的微分形式: $$\bex \rot{\bf B}=\mu_0{\bf j}. \eex$$ 由此, 静磁场是有旋场.

5. 总结: 稳定电流的磁场 (静磁场) 是无源有旋场.