AcWing：239. 奇偶游戏（前缀和 + 离散化 + 带权并查集 + 异或性质 or 扩展域并查集 + 离散化）

小A和小B在玩一个游戏。

首先，小A写了一个由0和1组成的序列S，长度为N。

然后，小B向小A提出了M个问题。

在每个问题中，小B指定两个数 l 和 r，小A回答 S[l~r] 中有奇数个1还是偶数个1。

机智的小B发现小A有可能在撒谎。

例如，小A曾经回答过 S[1~3] 中有奇数个1， S[4~6] 中有偶数个1，现在又回答 S[1~6] 中有偶数个1，显然这是自相矛盾的。

请你帮助小B检查这M个答案，并指出在至少多少个回答之后可以确定小A一定在撒谎。

即求出一个最小的k，使得01序列S满足第1~k个回答，但不满足第1~k+1个回答。

输入格式

第一行包含一个整数N，表示01序列长度。

第二行包含一个整数M，表示问题数量。

接下来M行，每行包含一组问答：两个整数l和r，以及回答“even”或“odd”，用以描述S[l~r] 中有奇数个1还是偶数个1。

输出格式

输出一个整数k，表示01序列满足第1~k个回答，但不满足第1~k+1个回答，如果01序列满足所有回答，则输出问题总数量。

数据范围

N≤109,M≤10000N≤109,M≤10000

输入样例：

10
5
1 2 even
3 4 odd
5 6 even
1 6 even
7 10 odd

输出样例：

3

带权并查集：

题解：如果我们用sum数组表示序列S的前缀和，那么在每个回答中：

　　1、S[l ~ r] 有偶数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性相同。

　　2、S[l ~ r] 有奇数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性不同。

注意，我们在本题中不需要求sum数组，只要把它看成一个变量。

　　　1、x₁ 与 x₂ 的奇偶性相同，x₂ 与 x₃ 的奇偶性也相同，那么 x₁ 与 x₃ 的奇偶性相同。

　　    2、x₁ 与 x₂ 的奇偶性相同，x₂ 与 x₃ 的奇偶性不同，那么 x₁ 与 x₃ 的奇偶性不同。

　　    3、x₁ 与 x₂ 的奇偶性不同，x₂ 与 x₃ 的奇偶性不同，那么 x₁ 与 x₃ 的奇偶性相同。

假设 d[x] 是 x ~ p 的奇偶性， d[y] 是 y ~ q 的奇偶性， d[p] 是 p ~ q 是奇偶性（其中x ~ p 和 y ~ q是两个不同的集合，p ~ q是两个集合的路径）。那么，ans = d[x] ^ d[y] ^ d[p]，可以推出d[p] = d[x] ^ d[y] ^ ans（读者可以自己证明）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int maxn = 1e4+;

struct node {
    int l, r, ans;
}arr[maxn];

vector<int> v;
int f[maxn];
int d[maxn];
int n, m;

int find(int x) {
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + ;
}

void init() {
    v.clear();
    for(int i = ; i <= m; i++) {
        char str[];
        scanf("%d %d %s", &arr[i].l, &arr[i].r, str);
        arr[i].ans = (str[] == 'o') ?  : ;    //奇数为1，偶数为0
        v.push_back(arr[i].l - );
        v.push_back(arr[i].r);
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());    //离散化
    n = v.size();
    for(int i = ; i <= n; i++) {
        f[i] = i;
        d[i] = ;
    }
}

int get(int x) {
    if(x == f[x]) {
        return f[x];
    }
    int root = get(f[x]);
    d[x] ^= d[f[x]];
    return f[x] = root;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    init();
    for(int i = ; i <= m; i++) {
        int x = find(arr[i].l - );
        int y = find(arr[i].r);
        int fx = get(x);
        int fy = get(y);
        if(fx == fy) {
            if((d[x] ^ d[y]) != arr[i].ans) {    //与前面的回答相矛盾
                printf("%d\n", i - );
                return ;
            }
        } else {
            f[fx] = fy;
            d[fx] = d[x] ^ d[y] ^ arr[i].ans;
        }
    }
    printf("%d\n", m);
    return ;
}

扩展域并查集：

题解：同上，如果我们用sum数组表示序列S的前缀和，那么在每个回答中：

　　1、S[l ~ r] 有偶数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性相同。

　　2、S[l ~ r] 有奇数个1，等价于 sum[l - 1] 与 sum[r] 奇偶性不同。

注意，我们在本题中不需要求sum数组，只要把它看成一个变量。

我们可以把变量x拆成两个节点x_odd和xeven，其中x_odd表示sum[x]是奇数，x_even表示sum[x]是偶数。我们那也可以把这两个节点称为x的“奇数域”和“偶数域”。

对于每个问题，设在离散化后l - 1和r的值分别是x和y，设ans表示该问题回答（0表示偶数个1，1表示奇数个1）

　　1、若ans = 0是，则合并x_odd与y_odd，x_even和y_even。这表示“x为奇数”和“y为奇数”可以互相推出，“x位偶数”和“y位偶数”可以互相推出。

　　2、若ans = 0是，则合并x_odd与y_even，x_even和y_odd。这表示“x为奇数”和“y为偶数”可以互相推出，“x位偶数”和“y位奇数”可以互相推出。

上述合并还维护了关系的传递性。若x_odd和y_odd在同一集合内，则两者的奇偶性相同。若x_odd和y_even在同一集合内，则两者的奇偶性不同。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1e4+;

struct node {
    int l, r, ans;
}arr[maxn];

vector<int> v;
int f[maxn];
int n, m;

void init() {
    for(int i = ; i <= m; i++) {
        char str[];
        scanf("%d %d %s", &arr[i].l, &arr[i].r, str);
        arr[i].ans = (str[] == 'o') ?  : ;    //奇数为1，偶数为0
        v.push_back(arr[i].l - );
        v.push_back(arr[i].r);
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
    n = v.size();
    for(int i = ; i <=  * n; i++) {
        f[i] = i;
    }
}

int find(int x) {
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + ;
}

int get(int x) {
    if(x == f[x]) {
        return f[x];
    }
    int root = get(f[x]);
    return f[x] = root;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    init();
    for(int i = ; i <= m; i++) {
        int x = find(arr[i].l - );
        int y = find(arr[i].r);
        int x_odd = x, x_even = x + n;
        int y_odd = y, y_even = y + n;
        if(arr[i].ans == ) {    //回答奇偶性相同
            if(get(x_odd) == get(y_even)) {    //与已知情况矛盾
                printf("%d\n", i - );
                return ;
            }
            f[get(x_odd)] = get(y_odd);
            f[get(x_even)] = get(y_even);
        } else {                //回答奇偶性不同
            if(get(x_odd) == get(y_odd)) {    //与已知情况矛盾
                printf("%d\n", i - );
                return ;
            }
            f[get(x_odd)] = get(y_even);
            f[get(x_even)] = get(y_odd);
        }
    }
    printf("%d\n", m);    //没有说谎
    return ;
}