【PE512】Sums of totients of powers（欧拉函数）

点此看题面

大致题意： 求\(\sum_{n=1}^{5\times10^8}((\sum_{i=1}^n\phi(n^i))(mod\ n+1))\)。

大力推式子

单独考虑\((\sum_{i=1}^n\phi(n^i))(mod\ n+1)\)。

由于\(\phi\)有一个显然的性质：

\[\phi(x^y)=\phi(x)\cdot x^{y-1}
\]

所以上面的式子就可以推成：

\[(\phi(n)\sum_{i=1}^nn^{i-1})(mod\ n+1)
\]

又由于\(n\equiv-1(mod\ n+1)\)，所以上式即为：

\[(\phi(n)\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1})(mod\ n+1)
\]

观察\(\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\)可知，这个式子在\(n\)为奇数时为\(1\)，\(n\)为偶数时为\(0\)。

而显然\(\phi(n)<n<n+1\)，所以最后我们要求的就是\(1\sim5*10^8\)内所有奇数的\(\phi\)值之和。

注意开数组

注意到一点，\(5\times10^8\)的数组即使在本地也是开不下的。

怎么办？杜教筛。

好吧，实际上可以不用杜教筛。

考虑到我们只需要奇数的\(\phi\)值，而\(\phi\)是一个积性函数，显然我们不可能从偶数的\(\phi\)值转移得出奇数的\(\phi\)值，因此筛偶数是不必要的。

这样一来，对于一个奇数\(x\)，我们用数组第\(\frac{x+1}2\)位去存储它，就实现了数组大小减半，开得下了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500000000
#define LL long long
using namespace std;
class LinearSiever//线性筛
{
	private:
		#define LS 250000000
		#define PS 15000000
		int Pt,P[PS+5];bool vis[LS+5];
	public:
		int phi[LS+5];//存储phi值
		I void Sieve(CI S)
		{
			RI i,j;for(phi[1]=1,i=3;i<=S;i+=2)//与普通线性筛几乎无异，但注意下标变化
			{
				!vis[i+1>>1]&&(P[++Pt]=i,phi[i+1>>1]=i-1);
				for(j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=S;++j)
					if(vis[i*P[j]+1>>1]=1,i%P[j]) phi[i*P[j]+1>>1]=phi[i+1>>1]*(P[j]-1);
					else {phi[i*P[j]+1>>1]=phi[i+1>>1]*P[j];break;}
			}
		}
}L;
int main()
{
	RI i;LL ans=0;for(L.Sieve(N),i=1;i<=(N+1>>1);++i) ans+=L.phi[i];//统计答案
	return printf("%lld",ans),0;//输出答案
}

运行结果

50660591862310323