CF-1860C Game on Permutation题解

题意：在一条数轴上，Alice可以跳到在你所在点前面且值比当前所在点小的点。每回合可以向任意符合要求的点跳一次。当轮到Alice的回合同时不存在符合要求的点，Alice就赢了。Alice可以选择一个点作为起始点，然后作为后手（赛时这里把我坑了）。问有多少个点是必胜的点。 \(n\leq 3\times 10^5\)

首先看一眼 \(n\) 的范围，基本可以猜出复杂度为 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n\sqrt n)\) 的。

题目要求有几个必胜的点，可以枚举每个点，再以 \(O(\log n)\) 或 \(O(\sqrt n)\) 的时间解决。

怎么知道一个点是必胜还是必负呢？分两种情况讨论。

一、这个点不能再向其他点跳

显然，若Alice选择了这个点，那Bob就是赢家，这对Alice来说就是必负的点。

二、这个点可以跳向数个知道结果的点

无论是Alice还是Bob，再轮到时都想让其变为一个必胜点，怎么做到呢，将可以跳的必负点留给对手。而前面可以跳的点都是必胜点，那么这个点也只能必负了。也就是说，只要前面有一个必负点，那这个点就必胜，

接下来就能解决问题了:

对于一，我们可以用前缀最小值来知道这是不是该种情况的点。

对于二，我们可以将必胜标记为0，必负标记为1，若可以跳的点的标记之和不为0，即是必胜点，否则是必负点。可以用权值线段树或树状数组，从前往后处理，当一个点必负时，将其加入线段树或树状数组。注意，一中的必负点也需要加入线段树或树状数组中。

并不喜闻乐见的代码时间

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Tp template<typename Ty>
#define ll long long
#define RS register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define I inline
using namespace std;
Tp I Ty wmax(Ty a,Ty b){return a>=b? a:b;}
Tp I Ty wmin(Ty a,Ty b){return a<=b? a:b;}
namespace WrongIO
{
	Tp I void read(Ty &x){x=0;Ty opt=1;char c=gc();while(!isdigit(c)&&c!='-')c=gc();if(c=='-')opt=-1,c=gc();while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1),x+=c-'0',c=gc();x*=opt;return;}
	Tp I void write(Ty x){short OI_USE[50],OI_top=0;if(x<=0) if(x==0)pc('0');else pc('-'),x*=-1;while(x)OI_USE[++OI_top]=x%10,x/=10;while(OI_top--)pc(OI_USE[OI_top+1]+'0');return;}
    I void writec(char c[]){int len=strlen(c);for(int i=0;i<len;i++)pc(c[i]);}
    I void writes(string s){int len=s.length();for(int i=0;i<len;i++)pc(s[i]);}
    I void readc(char &c,int l,int r){c=gc(); while(c!=EOF&&(c<l||c>r)) c=gc();}
    I void readc(char &c,char val){c=gc();while(c!=EOF&&c!=val) c=gc();}
    I void readc(char val){char c;c=gc();while(c!=EOF&&c!=val) c=gc();}
    I void readls(string &s){char c=gc();while(c!='\n') s.push_back(c),c=gc();}
    Ts I void read(Ty &x,Ar &...y) {read(x),read(y...);}
} using namespace WrongIO;
ll T,n;
ll st[300050];
ll lowbit(ll x)
{
	return x&-x;
}
void add(ll x)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
	st[x]+=1;
}
ll que(ll x)
{
	ll sum=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))
	sum+=st[x];
	return sum;
}
ll e[300050];
ll minx[300050];
int main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		memset(st,0,sizeof(st));
		memset(minx,0x3f,sizeof(minx));
		ll ans=0; read(n);
		for(int i=1;i<=n;i++) read(e[i]),minx[i]=wmin(e[i],minx[i-1]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(que(e[i])>0||e[i]==minx[i]) ans++;
			else add(e[i]);
		}
		write(n-ans),pc('\n');
	}
	return 0;
}

//好不容易CF上了青，结果洛谷被JC了，大号没了（悲）