[BZOJ 1188] [HNOI2007] 分裂游戏 【博弈论|SG函数】

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题目分析

我们把每一颗石子看做一个单个的游戏，它的 SG 值取决于它的位置。

对于一颗在 i 位置的石子，根据游戏规则，它的后继状态就是枚举符合条件的 j, k。然后后继状态就是 j 与 k 这两个游戏的和。

游戏的和的 SG 值就是几个单一游戏的 SG 值的异或和。

那么还是根据 SG 函数的定义 ， 即 SG(u) = mex(SG(v)) ，预处理求出每个位置的 SG 值。一个位置的 SG 值与它后面的位置有关，是取决于它是倒数第几个位置，那么我们预处理求出的 SG[i] 是指倒数第 i 个位置的 SG 值。

还有一个十分重要的性质，我们不需要考虑每个位置上石子的数量，只需要考虑数量的奇偶，因为如果有偶数个石子，那么这个位置的 SG 值会被异或到整个状态的 SG 中共偶数次，就会抵消，相当于没有。

奇数就是相当于偶数 + 1，因此只要异或一次即可。

组合游戏真是有许多神奇的性质Orz。

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MaxN = 25, N = 21;

int T, n, Mark_Index;
int A[MaxN], SG[MaxN], Mark[MaxN * MaxN];

void Prepare_SG() {
	Mark_Index = 0;
	memset(Mark, 0, sizeof(Mark));
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		++Mark_Index;
		for (int j = i - 1; j >= 1; --j)
			for (int k = j; k >= 1; --k)
				Mark[SG[j] ^ SG[k]] = Mark_Index;
		for (int j = 0; j <= N * N; ++j) {
			if (Mark[j] != Mark_Index) {
				SG[i] = j; break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	Prepare_SG();
	for (int Case = 1; Case <= T; ++Case) {
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &A[i]);
		int Temp = 0, Tot = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			if (A[i] & 1) Temp ^= SG[n - i + 1];
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (A[i] == 0) continue;
			for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
				for (int k = j; k <= n; ++k) {
					if ((Temp ^ SG[n - i + 1] ^ SG[n - j + 1] ^ SG[n - k + 1]) != 0) continue;
					++Tot;
					if (Tot == 1) printf("%d %d %d\n", i - 1, j - 1, k - 1);
				}
			}
		}
		if (Tot == 0) printf("-1 -1 -1\n");
		printf("%d\n", Tot);
	}
	return 0;
}