Codeforces 1404D - Game of Pairs（构造）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门

首先注意到 \(\sum\limits_{i=1}^{2n}i=\dfrac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)\equiv n\pmod{2n}\)，也就是说，如果我们能够在每个 pair 找到一个数，使取出的 \(n\) 个数加起来是 \(n\)​ 的倍数，那么后手就有必胜策略，因为如果取出的数之和 \(\bmod 2n=0\) 那么显然符合要求，否则我们这 \(n\) 个数之和 \(\bmod 2n\) 必然等于 \(n\)，因此我们可以考虑取个补集，剩余数之和 \(\bmod 2n\) 显然就等于所有数之和减去取出的数之和，也就是 \(2n\) 的倍数了。

因此考虑分情况讨论：如果 \(n\) 是偶数那比较好办，我们考虑当先手，对于所有 \(i\in[1,n]\)，将 \(i\) 与 \(i+n\) 分在一组，那么不论后手怎么取，他取出的 \(n\)​ 个数之和 \(\equiv\sum\limits_{i=1}^ni\pmod{n}\)，而显然 \(\sum\limits_{i=1}^ni=\dfrac{n(n+1)}{2}=n·\dfrac{n+1}{2}\)，后者不是整数，因此左式也不是 \(n\) 的倍数，因此后手无法取出 \(n\) 个数使它们的和为 \(2n\) 的倍数。

接下来考虑 \(n\) 是奇数的情况，显然根据此题的设计，\(n\) 为偶数的情况我们要选择当先手，那 \(n\) 为奇数的情况题目肯定要让我们当后手了，也就是说，我们要对于所有可能的分组情况，从每个 pair 中找出一个数，使它们的和是 \(n\) 的倍数。注意到对于奇数而言，就有 \(\sum\limits_{i=1}^ni\) 为 \(n\) 的倍数了，因此考虑 \(\equiv 1,2,3,\cdots,n\) 的数各取一个，怎么取呢？我们考虑对于所有 \(i\in[1,n]\)，连一条 \(i\) 所在的 pair 到 \(i+n\) 所在的 pair 的有向边，权值为 \(0\)，编号为 \(i\)，同理连一条 \(i+n\) 所在的 pair 到 \(i\) 所在的 pair 的有向边，权值为 \(1\)，编号为 \(i\)，这样每个点恰好连出两条边，也就是说我们会形成若干个环，我们考虑以任意顺序（顺时针、逆时针皆可），那么在遍历的过程中，如果我们经过编号为 \(i\) 的边时经过的那条边权值为 \(0\)，那么我们就选择 \(i\)，否则如果经过编号为 \(i\) 的边时，经过的那条边权值为 \(1\)，我们就选择 \(i+n\)，不难发现这样每组恰好选择一个，而每个编号的边恰好遍历了一次，因此 \(\equiv 1,2,3,\cdots,n\) 的数也都各取一个，因此和肯定是 \(n\) 的倍数。注意，如果最后选出来的数之和 \(\bmod 2n=n\) 那么还需取个补集。

坑点：注意 fflush(stdout)

const int MAXN=5e5;
int n,p[MAXN*2+5],hd[MAXN*2+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],id[MAXN*2+5],ec=1;
void adde(int u,int v,int x){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;id[ec]=x;}
bool vis[MAXN*2+5],book[MAXN*2+5];int ans[MAXN+5];
void dfs(int x,int pre,int st){
//	printf("%d %d\n",x,pre);
	vis[x]=1;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=id[e];if((e>>1)==(pre>>1)) continue;
		book[z*n+(e>>1)]=1;if(y^st) dfs(y,e,st);return;
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	if(~n&1){
		puts("First");
		for(int i=1;i<=n<<1;i++) printf("%d%c",i%n+1," \n"[i==n<<1]);
		fflush(stdout);
	} else {
		puts("Second");fflush(stdout);ll sum=0;
		for(int i=1;i<=n<<1;i++) scanf("%d",&p[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++) adde(p[i],p[i+n],0),adde(p[i+n],p[i],1);
		for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i,0,i);
		for(int i=1;i<=n<<1;i++) sum+=book[i]*i;
		if(sum%(n<<1)){
			for(int i=1;i<=n<<1;i++) book[i]^=1;
		} for(int i=1;i<=n<<1;i++) if(book[i]) ans[p[i]]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",ans[i]," \n"[i==n]);
		fflush(stdout);
	}
	return 0;
}