Fermat小定理的证明

本证明参考了李煜东老师《算法竞赛进阶指南》.

我们首先证明欧拉定理,然后推导出费马小定理.

欧拉定理:若\(\gcd(a,n)=1,a,n\in \mathbb{Z}\),则\(a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\).其中\(\phi(n)\)为欧拉函数.

设n的简化剩余系为\(\{\overline{d_1},\overline{d_2},\dots,\overline{d_{\phi(n)}}\}\).

由定义,设\(d_1,d_2,\dots,d_{\phi(n)}\)是\(\phi(n)\)个和n互质的,小于n的正整数.即:\(\gcd(n,d_i)=1,i=1,2,...,\phi(n)\).

由于gcd是积性函数,我们有:\(\gcd(n,\prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}{d_i})=1\).

若\(ad_i\equiv ad_j \pmod{n}\),则由a,n互质,我们直接得到:\(d_i\equiv d_j \pmod{n}\).

互为逆否命题的命题具有相同真假性.我们有:\(d_i \not \equiv d_j \pmod{n} \implies ad_i \not\equiv ad_j \pmod{n}\)

从剩余系的角度来讲,简化剩余系关于模\(n\)乘法封闭,故\(\overline{ad_i}\)也在简化剩余系中.由于\(\forall i\neq j,d_i \neq d_j\),集合\(\{\overline{d_i}\}\)和\(\{\overline{ad_i}\}\)均能表示\(n\)的简化剩余系,\(i=1,2,\dots,\phi(n)\).这里的意思是\(\forall i=1,2,...,\phi(n), \exists j=1,2,..,\phi(n) , ad_i \equiv d_j \pmod{n}\).

我们可以写出以下式子:\[a^{\phi(n)}\cdot \prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}d_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}ad_i\equiv \prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}d_i \pmod{n}\]

由于\(\gcd(n,\prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}d_i)=1\),消去之得到:\[a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}\]

稍微注意一下\(\prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}ad_i\equiv \prod\limits_{i=1}^{\phi(n)}d_i \pmod{n}\)这个代换.这里相当于是左右两边\(d_i\)相乘的顺序不同,但最终的乘积结果相同.原因在上面已经提到了.

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当\(n\)是质数时,\(\phi(n)=n-1\).此时有:\[a^{\phi(n)}\equiv a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}\]
证毕.