【bzoj4589】Hard Nim FWT

题目描述

Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。

2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。

不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。

Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。

由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

输入

输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。

对于每组数据：

共一行两个正整数n和m。

每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。

不超过80组数据。

输出

每组数据输出一个数，表示答案

样例输入

3 7
4 13

样例输出

6
120

---

题解

FWT裸题

Nim游戏后手必胜条件：每堆石子数异或和为0。

那么设f[i]表示异或和为i的方案数，显然这是一个异或规则下的卷积（卷积求幂）

所以使用FWT，每个数转化后求对应的幂次，再求逆FWT即为答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 70000
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007 , inv = 500000004;
int np[N] , prime[N] , tot;
ll a[N];
ll pow(ll x , int y)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
void fwt(int len)
{
	int i , j , k;
	ll t;
	for(i = 2 ; i <= len ; i <<= 1)
		for(j = 0 ; j < len ; j += i)
			for(k = j ; k < j + (i >> 1) ; k ++ )
				t = a[k] , a[k] = (a[k] + a[k + (i >> 1)]) % mod , a[k + (i >> 1)] = (t - a[k + (i >> 1)] + mod) % mod;
}
void ufwt(int len)
{
	int i , j , k;
	ll t;
	for(i = len ; i >= 2 ; i >>= 1)
		for(j = 0 ; j < len ; j += i)
			for(k = j ; k < j + (i >> 1) ; k ++ )
				t = a[k] , a[k] = (a[k] + a[k + (i >> 1)]) * inv % mod , a[k + (i >> 1)] = (t - a[k + (i >> 1)] + mod) * inv % mod;
}
int main()
{
	int n , m , i , j , len;
	for(i = 2 ; i <= 50000 ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= 50000 ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	while(~scanf("%d%d" , &n , &m))
	{
		memset(a , 0 , sizeof(a));
		for(i = 1 ; i <= tot && prime[i] <= m ; i ++ ) a[prime[i]] = 1;
		for(len = 1 ; len <= m ; len <<= 1);
		fwt(len);
		for(i = 0 ; i < len ; i ++ ) a[i] = pow(a[i] , n);
		ufwt(len);
		printf("%lld\n" , a[0]);
	}
	return 0;
}