CRT&EXCRT学习笔记

非扩展

用于求解线性同余方程组 ，其中模数两两互质 .

先来看一看两个显然的定理：

1.若 x \(\equiv\) 0 (mod p) 且 y \(\equiv\) 0 (mod p) ,则有 x+y \(\equiv\) 0 (mod p)

2.若 x \(\equiv\) b (mod p) 且 y \(\equiv\) 0 (mod p), 则有 x+y \(\equiv\) b (mod p) (0$\leq $b<p)

则整个方程组可以写为

b₁ \(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\) + $\cdots $+ b_i \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) + $\cdots $ + b_n \(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)

也就是说，想要求出最终方程组的解就只需要求出上面每个行列式的值。

考虑每个式子中，因为每两个模数之间两两互质，设 N=$ \sum_{i=1}^nm_i$

则GCD(\(\frac{N}{m_i}\) , m_i) = 1 , N/m_i即为其他模数的lcm，即为其他n-1个方程的解，第i个方程的解可以写成x_i=N / m_i * y

即 N/m_i * y \(\equiv\) 1 (mod m_i)

此方程等价于 N/m_i * y + m_i * z=1 ,可以用扩展欧几里得求解。

求出x_i后 ，有 b_i * x_i $\equiv $ b_i (mod m_i)

最后整个方程组的解就为 X = $\sum_{i=1}^n b_i * x_i $ mod N

Code:

#include<stdio.h>
#define N 100

long long W[N],B[N],nn,T;
inline void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;
	}else{
		exgcd(b,a%b,x,y);
		long long t=x;
		x=y;
		y=t-a/b*y;
	}
}
inline long long China(long long k){
	long long x,y,a=0,m,n=1;
	for(long long i=0;i<k;i++) n*=W[i];
	for(long long i=0;i<k;i++){
		m=n/W[i];
		exgcd(W[i],m,x,y);
		a=a+y*B[i]*m;
	}
	a%=n;
    while(a<=0) a+=n;
    while(a>=n) a-=n;
    return a;
}
signed main(){
	scanf("%lld",&nn);
	for(long long i=0;i<nn;i++)
		scanf("%lld",&B[i]);
	for(long long i=0;i<nn;i++)
		scanf("%lld",&W[i]);
	for(long long i=0;i<nn;i++)
		B[i]=(B[i]%W[i]+W[i])%W[i];
	printf("%lld",China(nn));
}

扩展

刚刚学习了中国剩余定理，现在来学习它的扩展。先说句闲话，不知道是不是扩展过头了，其实中国剩余定理和它的扩展关系不大，所以先请忘记刚刚在上文所看到的一切套路，开始新的征程。

好了，现在模数不是两两互质的了，也就是说先前求的N不是它们的LCM，不能直接用。

我们考虑构造的方法，假设我们已经求出了前k-1个方程的和解，现在需要合并第k个方程。

设前k-1个方程的和解为X，则他们的通解可以写成 X + t * N (其中N为前k-1个模数的LCM)

则要合并第k个方程，即要解如下方程

\[X + t * N \equiv b_k ( mod m_k )
\]

此方程又等价于 $$ t * N + m_k * y = b_k-X $$

晃眼一看，又是扩展欧几里得。求出 t 后 ，前k个方程的解就为 X^' = X + t * N , 继续更新 N ,N = LCM(N,\(m_k\))

Code:

#include<stdio.h>
#define N 100006
#define ll long long

ll a[N],b[N],ans,B,M,GCD,x,y;
int n;
template<class T>
inline void read(T &x){
	x=0;T flag=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
	x*=flag;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &xx,ll &yy){
	if(!b){
		xx=1;yy=0;
		return a;
	}
	ll gcd=exgcd(b,a%b,xx,yy);
	ll tmp=xx;
	xx=yy;
	yy=tmp-(a/b)*yy;
	return gcd;
}
inline ll mul(ll a,ll b,ll Mod){
	ll ans=0;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+a)%Mod;
		a=(a<<1)%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		read(a[i]),read(b[i]);
	ans=b[1];
	M=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		B=(b[i]-ans%a[i]+a[i])%a[i];
		GCD=exgcd(M,a[i],x,y);
		x=mul(x,B/GCD,a[i]);
		ans+=M*x;
		M*=a[i]/GCD;
		ans=(ans%M+M)%M;
	}
	printf("%lld",ans);
}
/*
3
11 6
25 9
33 17
*/