BZOJ CF388D. Fox and Perfect Sets [线性基 数位DP]

CF388D. Fox and Perfect Sets

题意：求最大元素\(le n\)的线性空间的个数

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给神题跪了 orz

容易想到 每个线性基对应唯一的线性空间，我们可以统计满足条件的对应空间不同的线性基个数

每一位我们插入一个向量，就获得了这一位的控制权，否则这一位是自由的

因为要\(le n\)，可以使用数位DP

从高位到低位考虑，设当前第i位，已经插入了j个向量

没有天际线的限制

• 插入向量i的话，之前的向量位i必须是0，1种情况
• 不插入向量i的话，之前的向量位i可以任选，\(2^j\)种情况

考虑天际线的限制

• 不插入向量i，有\(2^{j-1}\)种情况可以继续顶着天际线
• 如果a[i]==1，还有\(2^{j-1}\)种情况可以小于天际线
• a[i]==1时可以插入向量i

然后我的转移方程写的好丑啊....然后鏼鏼鏼了一个简短的写法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
#define fir first
#define sec second
const int N=40, P=1e9+7;
inline ll read() {
    char c=getchar(); ll x=0, f=1;
    while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}

int n, f[N][N][2], a[N], len;
ll mi[N];
inline void mod(int &x) {if(x>=P) x-=P;}
int dfs(int d, int j, int sky) { //printf("dfs %d %d %d\n",d,j,sky);
	if(d==0) return 1;
	if(f[d][j][sky] != -1) return f[d][j][sky];
	int &now = f[d][j][sky], lim = sky ? a[d] : 1;
	now=0;
	if(!sky) {
		mod(now += mi[j] * dfs(d-1, j, 0) %P );
		mod(now += dfs(d-1, j+1, 0)%P );
	} else {
		mod(now += (j==0 ? 1 : mi[j-1]) * dfs(d-1, j, sky && 0==lim) %P);
		if(a[d]==1) mod(now += dfs(d-1, j+1, sky && 1==lim)%P ),
			mod(now += (j==0 ? 0 : mi[j-1]) * dfs(d-1, j, sky && 1==lim) %P );
	}
	//for(int i=0; i<=lim; i++) {
	//	mod(now += (j==0 ? !i : mi[j-1]) * dfs(d-1, j, sky && i==lim) %P);
	//	if(i==1) mod(now += dfs(d-1, j+1, sky && i==lim));
	//}

	return now;
}
int main() {
	freopen("in","r",stdin);
	mi[0]=1;
	for(int i=1; i<=30; i++) mi[i] = (mi[i-1]<<1)%P;
	n=read();
	while(n) a[++len]=n&1, n>>=1;
	memset(f, -1, sizeof(f));
	printf("%d", dfs(len, 0, 1));
}