解题：CTSC 2006 歌唱王国

题面

概率生成函数

对于菜鸡博主来说好难啊

其一般形式为$F(x)=\sum\limits_{i=0}^∞[x==i]x_i$，第i项的系数表示离散变量x取值为i的概率

一般的两个性质：$F(1)=1,E(x)=F'(1)$

这里用$F(x)$表示结束时的串长的概率生成函数，$G(x)$表示到长度到达...而串未结束的概率生成函数，字符串长为len，那么有：

①$F(x)+G(x)=x*G(x)+1$，含义是长度达到x的概率：左边就是字面意思，右边$x*G(x)$表示x-1时未结束的概率，然后加上放的一次

②$\frac{1}{m}^{len}*G(x)=\sum\limits_{i=1}^{len} isb[i]*\frac{1}{m}^{len-i}*F(x)$，其中$isb_i$表示i是否是一个border，整个式子含义是字符串的结束：左边就是在一个没结束的串左边恰好补上所需要的len个字母，右边表示可能正好补了一个border，然后就也结束了

然后开始倒腾这两个式子，我们的目标是捣腾出$F'(1)$，也就是$E(x)$，而直接对①求导就可以得到$F'(x)$与$G(x)$的关系：

$F'(x)-G'(x)=G'(x)*x+G(x)$

$F'(1)=G(1)$

然后直接把$F(1)=1$扔进第二个式子里

$G(1)=\sum\limits_{i=0}^n isb_i m^i$

就是这样

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,mod=;
 int T,p,n,pos,ans,num[N],nxt[N],pw[N];
 int main()
 {
     scanf("%d",&p),pw[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         pw[i]=pw[i-]*p%mod;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         for(int i=;i<n;i++)
             scanf("%d",&num[i]);
         for(int i=,o=;i<n;i++)
         {
             while(o&&num[o]!=num[i]) o=nxt[o];
             nxt[i+]=(num[o]==num[i])?++o:;
         }
         pos=n,ans=;
         while(pos) ans=(ans+pw[pos])%mod,pos=nxt[pos];
         printf("%04d\n",ans);
     }
     return ;
 }