[SinGuLaRiTy] 二分图&匈牙利算法

二分图

二分图是图论中一种特殊的图形。顾名思义，二分图G可以被分为X、Y两个子图，在二分图中，没有任意一条连线的两个端点都属于X图或Y图，即每一条连线都贯穿连接着两个子图。二分图的一个重要等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。

如图-1所描绘的图像就是一个二分图，而图-2就不是一个二分图。

图-1 图-2

匹配

在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

如图-3中的红色边就是图-1的一种匹配（显然，匹配可能不止一种）

图-3

相关的定义还有匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义也就显而易见了。

最大匹配

一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 -4 是一个最大匹配。

完美匹配

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 -4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

图-4

下面我们借用一个例子来看看这两种匹配的区别：(Tips: 这个例子摘自其它博客，但确实很形象)

如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

匈牙利算法的相关概念

交替路

从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路 (比较形象)。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。例如，图- 5 中的一条增广路如图 -6 所示（图中的匹配点均用红色标出）

图-5 图-6

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配，只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。

匈牙利树

(Tips: 这一段的图画起来实在是太复杂了，故复制了pi9nc的图片)

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图Fig.7，可以得到如Fig.8 的一棵 BFS 树：

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如Fig.9 所示（顺便说一句，Fig.8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

匈牙利算法的思路

用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓：

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

<伪代码>

bool dfs(int k)  //寻找从k出发的对应项的可增广路

{

  while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)

  {

     if (j不在增广路上)

     {

        把j加入增广路;

        if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)

        {

           修改j的对应项为k;

           从k的对应项有可增广路,返回true;

        }

     }

  }

  从k的对应项出没有可增广路,返回false;

}

int hungary() //匈牙利算法主函数

{

   for i =  to n do//左部顶点数

   {

      清标志数组//右部

      if (从I有可增广路)

        匹配数++;

   }

   return 匹配数;

}
/*
[说明]

算法的核心是 dfs(int k)函数，它的作用是：

寻找顶点k可能匹配的顶点。对于每个可以与k匹配的顶点j，假如它未被匹配，可以直接使用j与k匹配；

假如j已与某顶点x匹配，那么只需调用dfs(x)来求证x是否可以与其它顶点匹配，如果返回true的话，仍可以使j与k匹配，这就是一次dfs；

每次dfs时，要标记访问到的顶点（visit[j]=true），以防死循环和重复计算；

每次dfs开始前所有的顶点都是未标记的。主过程只需对每个左侧的顶点调用dfs，如果返回一次true，就对最大匹配数加一；一个简单的循环就求出了最大匹配的数目。

*/

实现代码

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#define MAXN 110  //最大顶点数

using namespace std;

bool Map[MAXN][MAXN];  //二分图结构-邻接矩阵存储，有向图

bool visit[MAXN];      //标志数组，标记Y集合中的 i 元素是否被检测到过

int match[MAXN];       //存储匹配的方案,Y集合中的 i 元素匹配 X 中的某个元素

int n,m;               //n, m 分别为X集合与Y集合的顶点数

bool dfs(int k)

{

    int i,t;

    for(i=;i<=m;i++)

        if(Map[k][i]&&!visit[i])

        {

            visit[i]=true;

            if( match[i]==||dfs(match[i]))

            {

                match[i]=k;

                return true;

            }

        }

    return false;

}

int hungary()

{

    int i,ans;

    ans=;

    for(i=;i<=m;i++)

        match[i]=;

    for(i=;i<=n;i++)

    {

        memset(visit,,sizeof(visit));

        if(dfs(i))

            ans++;

    }

    return ans;

}

int main()

{

    int i,j,k;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(i=;i<=n;i++)

        for(j=;j<=m;j++)

        {

            scanf("%d",&k);

            if(k==)

                Map[i][j]=true;

            else

                Map[i][j]=false;

        }

    printf("%d",hungary());

    return ;

}

Time: 2017-07-05