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本题的DP模型同 P1352 没有上司的舞会。本题的难点在于如何把基环树DP转化为普通的树上DP。

考虑断边和换根。先找到其中的一个环,在上面随意取两个点, 断开这两个点的边,使其变为一棵普通树。以其中的一点为树根做树形DP,再以另一点为树根再做一次树形DP,因为相邻的两点不能同时选,所以最后统计一下 \(f(i)(0)\) 与 \(g(j)(0)\) 的最大值即可。

定义 \(f(i)(0/1)\) 为第一次树形DP的 \(i\) 点的最优解,\(g(i)(0/1)\) 为第二次树形DP的 \(i\) 点的最优解。$\text{Ans} $ 为一次基环树DP的答案。\(\text{E}_\text{Circle}\) 为基环树的环上的点的集合。

故一次基环树DP的答案为:

\[\text{Ans}=\max\{f(i)(0),g(j)(0)\}
\]

\[(i,j\in \text{E}_\text{Circle},i\neq j)
\]

下图为洛谷秋令营的课件讲解:

关键代码如下:

void covertree(int fr)//寻找基环树
{
used[fr]=1;
for(int i=head[fr];i;i=e[i].next)
{
int to=e[i].to;
if(used[to]==0)
{
covertree(to);
}
}
} void findcir(int fr,int fa)//寻找基环树中的环
{
if(flag) return ;
vis[fr]=1;
for(int i=head[fr];i;i=e[i].next)
{
int to=e[i].to;
if(vis[to]==0)
{
findcir(to,fr);
}else if(to!=fa)
{
fri=fr;//第一个点
toi=to;//第二个点
E=i;//边的编号
flag=1;
return ;
}
}
} void DPf(int fr)//以其中的一点为树根做树形DP
{
visf[fr]=1;
f[fr][1]=crit[fr];
for(int i=head[fr];i;i=e[i].next)
{
int to=e[i].to;
if(visf[to]==0&&(i^1)!=E)//保证不会选到第一个点和第二个点,相当于断边
{
DPf(to);
f[fr][0]+=max(f[to][0],f[to][1]);
f[fr][1]+=f[to][0];
}
}
} void DPg(int fr)//再以另一点为树根再做一次树形DP
{
visg[fr]=1;
g[fr][1]=crit[fr];
for(int i=head[fr];i;i=e[i].next)
{
int to=e[i].to;
if(visg[to]==0&&(i^1)!=E)
{
DPg(to);
g[fr][0]+=max(g[to][0],g[to][1]);
g[fr][1]+=g[to][0];
}
}
} for(int i=1;i<=n;i++)//调用+统计答案
{
if(used[i]==1) continue;
covertree(i);
flag=0;
findcir(i,-1);
DPf(fri);
DPg(toi);
ans+=max(f[fri][0],g[toi][0]);
}

特别注意

  • 本题是基环树森林,而不是单棵基环树,故要反复寻找覆盖基环树,最后将所有答案加起来。

  • 因为要断边,所以前向星计数器 ei 一定要初始化为 1。

    • 用多个数组标记(used[],vis[],visf[],visg[])。
    • 一定要注意 f,gfr,to,不要手快打错了。

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