BZOJ5369 [Pkusc2018]最大前缀和

题意

小C是一个算法竞赛爱好者，有一天小C遇到了一个非常难的问题：求一个序列的最大子段和。
但是小C并不会做这个题，于是小C决定把序列随机打乱，然后取序列的最大前缀和作为答案。
小C是一个非常有自知之明的人，他知道自己的算法完全不对，所以并不关心正确率，他只关心求出的解的期望值，
现在请你帮他解决这个问题，由于答案可能非常复杂，所以你只需要输出答案乘上n!后对998244353取模的值，显然这是个整数。
注：最大前缀和的定义：i∈[1,n],Sigma(aj)的最大值,其中1<=j<=i

\(n \leq 20\)

分析

乘上\(n!\)，所谓期望其实就是每种最大前缀和乘上方案数的乘积的和。

参照Boss.Pi的题解。

看数据范围，考虑状压dp。注意到前缀和的取值只有 \(2^n\) 种.

然后可以枚举每一个集合的元素当最大前缀和 , 那么这个集合的元素排列之后每一个后缀都必须大于 \(0\) , 且这个集合的补集排列之后必须保证每一个前缀和都小于 \(0\).

那么状压 DP 就行了 , 设 \(f[i]\) 表示集合 \(i\) 作为最大前缀和且排列之后每个后缀都大于 \(0\) 的方案数 , \(g[i]\) 表示集合 \(i\) 中元素排列之后每个前缀都小于 \(0\) 的方案数.

强制 \(f,g\) 必须在合法的时候才能转移就行了.

时间复杂度\(O(n 2^n)\)

关于转移的问题

就算f加上j转移到了不合法的状态，以后也不会用到。

所以是对的。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<ctime>
#include<cstring>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
    rg T data=0;
    rg int w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return data*w;
}
template<class T>T read(T&x)
{
    return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long ll;
co int N=22,mod=998244353;
int n;
int a[N];
int sum[1<<N],f[1<<N],g[1<<N];
il int add(int x,int y)
{
    return (x+y)%mod;
}
il int mul(int x,int y)
{
    return (ll)x*y%mod;
}
int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    read(n);
    for(int i=0;i<n;++i)
        read(sum[1<<i]);
#define lowbit(x) (x&-x)
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
        sum[i]=sum[i-lowbit(i)]+sum[lowbit(i)];
    for(int i=0;i<n;++i)
        f[1<<i]=1,g[1<<i]=1;
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
    {
        if(sum[i]>0)
        { // edit 1: the big brace is important
            for(int j=0;j<n;++j)
                if(~i>>j&1)
                    f[i|(1<<j)]=add(f[i|(1<<j)],f[i]);
        }
        else
        {
            for(int j=0;j<n;++j)
                if(~i>>j&1)
                    g[i|(1<<j)]=add(g[i|(1<<j)],g[i]);
        }
    }
    g[0]=1;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
        if(sum[((1<<n)-1)^i]<=0)
            ans=add(ans,mul(f[i],mul(sum[i],g[((1<<n)-1)^i])));
    printf("%d",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}

Hint

大括号的问题，害得我交了23次。