洛谷P2744 [USACO5.3]量取牛奶Milk Measuring

题目描述

农夫约翰要量取 Q（1 <= Q <= 20,000）夸脱（夸脱，quarts，容积单位——译者注） 他的最好的牛奶，并把它装入一个大瓶子中卖出。消费者要多少，他就给多少，从不有任何误差。

农夫约翰总是很节约。他现在在奶牛五金商店购买一些桶，用来从他的巨大的牛奶池中量出 Q 夸脱的牛奶。每个桶的价格一样。你的任务是计算出一个农夫约翰可以购买的最少的桶的集合，使得能够刚好用这些桶量出 Q 夸脱的牛奶。另外，由于农夫约翰必须把这些桶搬回家，对于给出的两个极小桶集合，他会选择“更小的”一个，即：把这两个集合按升序排序，比较第一个桶，选择第一个桶容积较小的一个。如果第一个桶相同，比较第二个桶，也按上面的方法选择。否则继续这样的工作，直到相比较的两个桶不一致为止。例如，集合 {3，5，7，100} 比集合 {3，6，7，8} 要好。

为了量出牛奶，农夫约翰可以从牛奶池把桶装满，然后倒进瓶子。他决不把瓶子里的牛奶倒出来或者把桶里的牛奶倒到别处。用一个容积为 1 夸脱的桶，农夫约翰可以只用这个桶量出所有可能的夸脱数。其它的桶的组合没有这么方便。

计算需要购买的最佳桶集，保证所有的测试数据都至少有一个解。

输入输出格式

输入格式：

Line 1: 一个整数 Q

Line 2: 一个整数P（1 <= P <= 100），表示商店里桶的数量

Lines 3..P+2: 每行包括一个桶的容积（1 <= 桶的容积 <= 10000）

输出格式：

输出文件只有一行，由空格分开的整数组成：

为了量出想要的夸脱数，需要购买的最少的桶的数量，接着是：

一个排好序的列表（从小到大），表示需要购买的每个桶的容积

输入输出样例

输入样例#1：

16

3

3

5

7

输出样例#1：

2 3 5

【题解】

这是一道背包动态规划与搜索结合的题目，由小到大DFS搜取桶个数，背包动态规划（完全背包）来判断K个桶是否

能能测体积为V的牛奶。

相比于其他题解，我的注释貌似更详尽，我的程序貌似更易懂。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[101],use[101],v,n,k;
void print()
{
  printf("%d ",k);
  for (int i=1;i<=k;i++)
    printf("%d ",a[use[i]]);
  exit(0);//输完情况直接跳回主函数
}
void dp()//完全背包，判断取K个桶时能否取到体积为V的情况（转化：K个桶即为K种物品，每种物品有无限个，体积为背包容积，原来的最大价值由于不用管，存是否可行就行了）
{
  int f[20010];
  memset(f,0,sizeof(f));
  f[0]=1;//f[i]指体积为i时是否能取到（用bool类型等效）
  for (int i=1;i<=k;i++)
    for (int j=1;j<=v/a[use[i]];j++)
      f[j*a[use[i]]]=1;//先初始化，表明能取到体积为一个桶体积的倍数的情况(==1)
  for (int i=1;i<=k;i++)
    for (int j=a[use[i]];j<=v;j++)//use[i]记录取第i个桶时取到桶的编号(只在取k个桶的情况内有效）
      f[j]=f[j]||f[j-a[use[i]]];//如果||两边情况有一种情况取得到（==1）就能取到体积为j那种情况
    if (f[v]==1)//一取到要求的体积就输出（保证字典序最小）
      print();
}
void dfs(int dep)//枚举取K个桶时取哪几个桶
{
  for (int i=use[dep-1]+1;i<=n-k+dep;i++)//下一次递归就是上次取到的桶的下一个开始，多取一个桶，
  //i的最大范围实际是为后面搜（k-dep)个桶留有起码的空间（后面每个i都取一个桶）
   {
    use[dep]=i;
    if (dep==k)//直到取到k个桶为止
      dp();
    else
      dfs(dep+1);
   }
}
void fenzu()//枚举取K个桶的情况，由于是从小到大搜，可以保证搜到的第一个情况为取的个数最小的情况
{
     for (k=1;k<=n;k++)
     dfs(1);
}
int main()
{
  int i;
  //freopen("milk.in","r",stdin);
  //freopen("milk.out","w",stdout);
  scanf("%d",&v);
  scanf("%d",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
  sort(a+1,a+n+1);
  fenzu();
  //fclose(stdin);
  //fclose(stdout);
  return 0;
}