16 Z变换
Z变换
由于\(DTFT\)变换是有收敛条件的,并且其收敛条件比较严格,很多信号不能够满足条件,为了有效的分析信号,需要放宽收敛的条件,引入\(Z\)变换。
定义
已知序列的\(DTFT\)为
\[
X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}
\]
当序列\(x[n]\)不满足收敛条件时,我们让\(x[n]\)乘以\(r^{-n}\)使它收敛
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-jwn}
\]
令\(z=re^{jw}\)得到
\[
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}
\]
对于所有的\(z\)上式不一定收敛,所以\(Z\)变换是有其收敛域,所以在对一个信号进行\(Z\)变换时,一定要加上它的收敛域,因为对于一些不同的信号,它们的\(Z\)变换相同,但是它们的收敛域不同。仅仅由\(Z\)变换的表达式并不能完全的确定原信号,要加上它的收敛域才能完全的确定原信号。
例:求序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)变换。
解:
\[
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^nz^{-n}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}
\]
要使上式收敛,则必须满足\(\vert\alpha z^{-1}\vert<1\),即收敛域为\(\vert z\vert>\vert \alpha\vert\)。
所以序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)变换为
\[
X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert>\vert \alpha\vert
\]
例:求序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)变换。
解:
\[
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}-\alpha^nz^{-n}=-\sum_{m=1}^{\infty}(\alpha^{-1}z)^{m}=-\frac{\alpha^{-1}z}{1-\alpha^{-1}z}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}
\]
要使上式收敛,则需要满足\(\vert\alpha^{-1}z\vert<1\),即收敛域为\(\vert z\vert < \vert \alpha \vert\)
所以序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)变换为
\[
X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert < \vert \alpha \vert
\]
由上面两例可知,序列\(x[n]=\alpha^n\mu[n]\)的\(Z\)变换的表达式与序列\(x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]\)的\(Z\)变换的表达式是一样的,但是它们的收敛域是完全不一样的,如果只给出其\(Z\)变换的表达式,是不能判断其原信号是什么的。
\(Z\)变换的性质
设序列\(x[n]\)的\(Z\)变换为\(X(z)\),其收敛域为\(R_{x-}<\vert z\vert <R_{x+}\),序列\(w[n]\)的\(Z\)变换为\(W(z)\),其收敛域为\(R_{w-}<\vert z\vert <R_{w+}\)。
线性性质
设\(y[n]=\alpha x[n]+\beta w[n]\),则其\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\alpha x[n]+\beta w[n])z^{-n}\\
&=\alpha\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}+\beta\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n]z^{-n}\\
&=\alpha X(z)+\beta W(z)
\end{aligned}
\]
其收敛域为\[max\{R_{x-},R_{w-}\}<\vert z\vert <min\{R_{x+},R_{w+}\}\]
时移性质
序列\(y[n]=x[n-n_0]\)的\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]z^{-n}\\
&\xrightarrow{m=n-n_0}z^{-n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\
&=z^{-n_0}X(z)
\end{aligned}
\]
除了其收敛域可能包含\(0\)或者\(\infty\),与原收敛域相同。
乘以指数序列
序列\(y[n]=\alpha^nx[n]\)的\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha^nx[n]z^{-n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z\alpha^{-1})^{-n}\\
&=X(\frac{z}{\alpha})
\end{aligned}
\]
其收敛域为\(\vert \alpha \vert R_{x-}< \vert z\vert < \vert \alpha \vert R_{x+}\)
反褶
序列\(y[n]=x[-n]\)的\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]z^{-n}\\
&\xrightarrow{m=-n}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](\frac{1}{z})^{-n}\\
&=X(\frac{1}{z})
\end{aligned}
\]
其收敛域为\(\cfrac{1}{R_{x+}}<\vert z\vert < \cfrac{1}{R_{x-}}\)
共轭
序列\(y[n]=x^{*}[n]\)的\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{*}[n]z^{-n}\\
&=(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z^{*})^{-n})^{*}\\
&=X^{*}(z^{*})
\end{aligned}
\]
其收敛域未发生改变,因为\(\vert z\vert = \vert z^{*}\vert\)
时域微分
由于
\[
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}
\]
所以
\[
\frac{dX(z)}{dz}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n-1}\Rightarrow-z\frac{dX(z)}{dz}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n}
\]
所以序列\(y[n]=nx[n]\)的\(Z\)变换为
\[
Y(z)=-z\frac{dX(z)}{dz}
\]
其收敛域可能去掉\(0\)或者\(\infty\),其余不变。
卷积
序列\(y[n]=x[n]*w[n]\)的\(Z\)变换为
\[
\begin{aligned}
Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]w[n-m]z^{-n}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n-m]z^{-n}\\
&\xrightarrow{l=n-m}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\sum_{l=-\infty}^{\infty}w[l]z^{-l}\\
&=X(z)Y(z)
\end{aligned}
\]
其收敛域为
\[
max\{R_{x-},R_{w-}\}<\vert z\vert <min\{R_{x+},R_{w+}\}
\]
有时\(X(z)\)与\(W(z)\)的零极点可能会互相抵消,所以收敛域可能会比这个大。
16 Z变换的更多相关文章
- z 变换
1. z 变换 单位脉冲响应为 \(h[n]\) 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 \(z^n\) 的响应 \(y[n]\) 为 \[ \tag{1} y[n] = H(z) z^{n}\] 式中 ...
- z变换
---恢复内容开始--- z变换作用很大 将离散信号从时间域转到频率域 网址 ---恢复内容结束--- z变换作用很大 将离散信号从时间域转到频率域 网址 http://stackoverflow.c ...
- 数字信号处理--Z变换,傅里叶变换,拉普拉斯变换
傅立叶变换.拉普拉斯变换.Z变换最全攻略 作者:时间:2015-07-19来源:网络 傅立叶变换.拉普拉斯变换.Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换.研究的都是什么? ...
- 常用函数的DTFT变换对和z变换对
直接从书上抓图的,为以后查表方便 1.DTFT 2.z变换对
- 【转】傅里叶变换 拉普拉斯变 z变换 DFT DCT意义
傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量). ...
- windows phone (16) UI变换 下
原文:windows phone (16) UI变换 下 上一篇中说到四个变换类,都是比较简单的,这里要说到四个变换类,分别为: MatrixTransfrom矩阵变换,一句标准矩阵表示的变换 Tra ...
- [离散时间信号处理学习笔记] 10. z变换与LTI系统
我们前面讨论了z变换,其实也是为了利用z变换分析LTI系统. 利用z变换得到LTI系统的单位脉冲响应 对于用差分方程描述的LTI系统而言,z变换将十分有用.有如下形式的差分方程: $\displays ...
- [离散时间信号处理学习笔记] 9. z变换性质
z变换描述 $x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X(z) ,\quad ROC=R_x$ 序列$x[n]$经过z变换后得到复变函数$X(z ...
- [离散时间信号处理学习笔记] 7. z变换
z变换及其收敛域 回顾前面的文章,序列$x[n]$的傅里叶变换(实际上是DTFT,由于本书把它叫做序列的傅里叶变换,因此这里以及后面的文章也统一称DTFT为傅里叶变换)被定义为 $X(e^{j\ome ...
随机推荐
- 菜单制作:ul li横向排列
CSS菜单制作 <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset="U ...
- 第五十三篇 Linux相关——Web服务器
No.1. Apache基本操作 安装:sudo yum -y install httpd 启动:service httpd start 停止:service httpd stop 查看服务运 ...
- vscode中vim插件对ctrl键的设置
vim配置 在使用中经常想使用ctrl-c,虽然在vscode中有配置选项可以让vim与ctrl键解绑,但是这样就使用不了vim的VISUAL BLOCK.所以进行了自定义设置. 设置 - Vim C ...
- sofa
来源:http://fangpeng123456789.iteye.com/blog/2172745 sofa app: biz:业务实现层(业务类型) common: ...
- xpath解析html标签
最近忙一个需求:把一个字符串形式的html文档转化成excel. 分解需求: ① 实现语言 ———— python ② html解析 ———— 用 lxml库的etree工具,xpath方式解析文档树 ...
- DFT计算过程详解
DFT计算过程详解 平时工作中,我们在计算傅里叶变换时,通常会直接调用Matlab中的FFT函数,或者是其他编程语言中已经为我们封装好的函数,很少去探究具体的计算过程,本文以一个具体的例子,向你一步一 ...
- SpringBoot 各层之间的关系
SpringBoot 各层之间的关系 SpringBoot 分为四层:controller层.service层.dao层.entity层. entity层:和 model 层一样,存放的是实体类,属 ...
- 【Python】数值运算函数
- 为什么hadoop中用到的序列化不是java的serilaziable接口去序列化而是使用Writable序列化框架
继上一个模块之后,此次分析的内容是来到了Hadoop IO相关的模块了,IO系统的模块可谓是一个比较大的模块,在Hadoop Common中的io,主要包括2个大的子模块构成,1个是以Writable ...
- linux 下查看Tomcat的状态,以及开启停止服务命令
1.首先进入你的tomcat 的bin目录下 cd /你的安装目录/tomcat/bin 查看服务启动情况 ps -ef|grep java 此条命令具体含义 ps:将某个进程显示出来 -A 显示所有 ...