MT【301】值域宽度

(2015浙江理科)
已知函数$f(x)=x^2+ax+b,(a,b\in R)$.记$M(a,b)$是$|f(x)|$在区间$[-1,1]$上的最大值.
(1)证明:当$|a|\ge2$时,$M(a,b)\ge2$;
(2)当$a,b$满足$M(a,b)\le 2$,求$|a|+|b|$的最大值.

分析:(1)$\min\limits_{b\in R}M(a,b)=\dfrac{f(x)_{max}-f(x)_{min}}{2}=|\dfrac{f(1)-f(-1)}{2}|=|a|\ge2$
(2)由题意$|f(1)|\le M\le2,|f(-1)|\le M\le2$
故$|a|+|b|=\max\{|a+b|,|a-b|\}=\max\{|f(1)-1|,|f(-1)-1|\}\le 3$

当$a=2,b=-1$时取到最大值3.
注:(1)中改编为$0\le a\le 2$时,求证$M(a,b)\ge \dfrac{1}{2}$