codility上的问题（15） Xi 2012

进入2012年的题 codility上的题目开始变难，变得有意思起来。给定两个长度在[1..300000]的只包含0和1的串S和T，它们是2进制表示的，S表示的数A不大于T表示的数B，即A<=B，且A > 0。还有一个参数是K, 1<=K<=30，问[A..B]之间有多少个数满足它们的2进制表示任意两个1之间至少有个0。（如果一个数2进制表示只有1个1，认为它是满足条件的）。

结果 对  1000000007取模。

要求复杂度：时间空间都是O(log(A +B))

分析： 我们求[0..B]之间有多少个数满足要求…… 一个显然的dp。不过我写了好久，因为式子没写对……设dp[n]表示n位满足要求的2进制数（允许首位是0）的个数。

规定dp[0] = 1, dp[1] = 2。dp[1] = 2是只有1位时，它为0或者为1都可以。 那么我们考虑dp[n] (n > 1)，如果它首位为0，则它的后面(n - 1)位一定满足条件。如果它首位为1，则它后必须有K个0，再接一个有效的数即dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - k - 1]。 这里要注意当n - k - 1 < 0时，我们要加1，也就是初始条件对于dp[x] = 1 if x <= 0。这里的原因是这样的，当首位为1时，后面位数不足K位时，全为0式满足条件的。 于是统一一下，方程为dp[n] = dp[n - 1] + dp[n - k - 1] 初始条件是 dp[x] = 1 if x <= 0。

后面的问题就简单了，我们沿着B的高位走，每次遇到1，试图把它变成0，注意上一次1的位置，再后面一个位置接一个合法的数（利用dp）的结果。实际上我们对于B的每个1bit，都尝试一下变成0，这样每次产生的数必然和B不同。就是枚举了第一个和B不相同的位。还有一点要注意，如果不改变B的1bit,已经非法的话，就要退出。这里还是有一些细节要处理的。 最后求的是num [0..B] - num [0..A - 1]。

代码：

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>
#include <vector>

const int M =  1000000007;

vector<int> dp;

int add(int x,int y) {
    return ((x += y) >= M)?(x - M):(x);
}

string dec(const string &s) {
string r = s;
int i;
    for (i = r.size() - 1; i >= 0; --i) {
        if (r[i] == '0') {
            r[i] = '1';
        }
        else {
            r[i] = '0';
            break;
        }
    }
    return r;
}

int cal(const string &s,int k) {
int last = -1,answer = 0,i;
bool valid = true;
    for (i = 0; (valid) && (i < s.size());++i) {
        if (s[i] == '1') {
            if (last < 0) {
                answer = add(answer, dp[s.size() - 1 - i]);
            }
            else {
                if (i - last <= k) {
                	valid = false;
            	}
                if (i - last >= k) {
                    answer = add(answer, dp[s.size() - 1 - i]);
                }
                else if (last + k >= s.size()) {
                    answer = add(answer, 1);

                }
                else {
                    answer = add(answer, dp[s.size() - 1 - last - k]);

                }
            }
            last = i;
        }
     }
    if (valid) {
        answer = add(answer, 1);
    }
     return answer;
}

int solution(const string &S, const string &T, int K) {
    // write your code here...
    int i,n = T.size();
    dp.resize(n + 1);
    dp[0] = 1;
    for (i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = add(dp[i - 1], (i <= K)?1:dp[i - K - 1]);

    }
    string temp = dec(S);
    i = cal(T, K) - cal(temp, K);
    return (i < 0)?(i + M):i;

 }