题解 ICPC 2019 SH 区域赛 F 树上简单问题

首先这个题多测非常SB, 每次都要清空, 需要特别注意.

树剖应该都会吧, Defad之后也会发博客讲解, 这里主要讲一下线段树维护区间加区间乘区间赋值区间立方和.

区间加

首先, 想一下我们要维护什么.

我们推一下式子, 看看式子中有哪些是要维护的, 哪些是要修改的.

Defad曰, "岂曰线段树题非好题乎, 岂曰推式子非神题乎, 岂曰多测出题人不满门抄斩乎".

\(
(v + k)^{3}
\newline
= (v + k)(v + k)^{2}
\newline
= (v + k)(v^{2} + k^{2} + 2vk)
\newline
= v^{3} + k^{3} + 3v^{2}k + 3vk^{2}
\)

Defad在VP时被二项式定理忘记了, 所以这里直接硬推的.

在这个式子中, 我们用到了区间立方和与区间平方和与区间和, 区间和就不用推了, 推一下区间平方和的修改.

\(
(v + k)^{2}
\newline
= v^{2} + k^{2} + 2vk
\)

我们推的是单点修改的式子, 区间修改只需在纯 \(k\) 的项上乘 \(r - l + 1\) 即可.

为什么只有纯 \(k\) 的项需要乘区间长度? 因为我们在维护 \(v\) 时已经有区间长度了, 所以只有纯 \(k\) 项需要.

区间乘

区间乘推式子其实比区间加好推, 分别乘上 \(k\) 即可.

\((vk)^{3} = v^{3}k^{3}\)

\((vk)^{2} = v^{2}k^{2}\)

\(vk = vk\)

区间赋值

区间赋值其实很好实现, 这个不需要推式子, 就是想一下, 区间乘 \(0\) 然后区间加 \(k\) 实际上就相当于区间赋值了, Defad觉得这个挺重要的建议记一下.

代码

树剖就先不给代码了, 给一下线段树的 update 和传递标记, 这里用的是动态开点线段树.

题目要求取模.

inline

void pushup(int x) {

  t[x].val1 = (t[t[x].ls].val1 + t[t[x].rs].val1) % Mod;

  t[x].val2 = (t[t[x].ls].val2 + t[t[x].rs].val2) % Mod;

  t[x].val3 = (t[t[x].ls].val3 + t[t[x].rs].val3) % Mod;

}

inline // 这个函数是结点加 f 乘 g 同时做了

void addmul(int *x, int l, int r, ll f, ll g) {

  if (*x == 0) *x = ++cntt; // x 没有被修改过就是空结点

  if (g ^ 1LL) { // 先乘, 如果乘 1 就不用乘了

    ll g2 = g * g % Mod, g3 = g2 * g % Mod;

    // 修改立方和

    t[*x].val3 = t[*x].val3 * g3 % Mod;

    // 修改平方和

    t[*x].val2 = t[*x].val2 * g2 % Mod;

    // 修改和

    t[*x].val1 = t[*x].val1 * g % Mod;

    // 打加标记

    t[*x].add = t[*x].add * g % Mod;

    // 打乘标记

    t[*x].mul = t[*x].mul * g % Mod;

  }

  if (f ^ 0LL) { // 后加, 如果加 0 也不用加

    ll f2 = f * f % Mod, f3 = f2 * f % Mod;

    // 修改立方和

    t[*x].val3 = (t[*x].val3 + f3 * (r - l + 1) % Mod) % Mod;

    t[*x].val3 = (t[*x].val3 + 3LL * f2 * t[*x].val1 % Mod) % Mod;

    t[*x].val3 = (t[*x].val3 + 3LL * f * t[*x].val2 % Mod) % Mod;

    // 修改平方和

    t[*x].val2 = (t[*x].val2 + f2 * (r - l + 1) % Mod) % Mod;

    t[*x].val2 = (t[*x].val2 + 2LL * f * t[*x].val1 % Mod) % Mod;

    // 修改和

    t[*x].val1 = (t[*x].val1 + f * (r - l + 1) % Mod) % Mod;

    // 打加标记

    t[*x].add = (t[*x].add + f) % Mod;

  }

}

inline

void pushdown(int x, int l, int r, int m) {

  // 标记下传左儿子

  addmul(&t[x].ls, l, m, t[x].add, t[x].mul);

  // 标记下传右儿子

  addmul(&t[x].rs, m + 1, r, t[x].add, t[x].mul);

  // 清空加标记

  t[x].add = 0LL;

  // 清空乘标记

  t[x].mul = 1LL;

}

inline // 一个函数做完 + 和 *

void update(int *x, int l, int r, int L, int R, ll f, ll g) {

  if (!*x) *x = ++cntt;

  if (L <= l && r <= R) {

    addmul(*x, l, r, f, g);

  } else {

    int m = l + r >> 1;

    pushdown(*x, l, r, m);

    if (L <= m)

      update(&t[*x].ls, l, m, L, R, f, g);

    if (m + 1 <= R)

      update(&t[*x].rs, m + 1, r, L, R, f, g);

    pushup(*x);

  }

}

// 区间加

update(&rt, 1, N, L, R, k, 1LL);

// 区间乘

update(&rt, 1, N, L, R, 0LL, k);

// 区间赋值

update(&rt, 1, N, L, R, k, 0LL);