【xsy1116】数学题 奥数题

真实奥数题

题目大意：给你正整数k$,r$。问你存在多少对$(x,y)$，满足$x<y$且$x^2+y^2=kz^2$，并将所有符合条件的数对输出。

数据范围：$r≤1e9$，$k={1,2,3}$。

我们先考虑$k=1$的情况，显然就是一个求勾股数对数的问。有一种经典的枚举所有$x^2+y^2=z^2$且$(x,y,z)=1$的勾股数对数的式子：

$\begin{cases} x=2nm\\ y=n^2-m^2 \\ z=n^2+m^2 \end{cases}$

证明的话，展开下式子算算就好

我们只需要暴力枚举r的因数进行计算就可以了，时间复杂度$O(r^{\frac{1.066}{\ln\ln\ n}+0.5})$（这个式子是抄来的，证明本蒟蒻不懂，反正是能过的qwq）。

考虑$k=2$的情况，我们参考处理$k=1$的情况，列一组式子，可以枚举所有$x^2+y^2=2z^2$且$(x,y,z)=1$的式子：

$\begin{cases} x=n-m\\ y=n+m \\ z=\sqrt{n^2+m^2} \end{cases}$

证明同上

我们不难发现，这时候求解的关键变为了求$z^2=n^2+m^2$的对数（并将所有方案打出），这不就是第一问吗$qwq$。

我们只需要求出所有的$(n,m)$数对后，简单转化一波就可以了。

考虑k=3的情况，抱歉这个是无解的qwq

 #include<bits/stdc++.h>
 #define L long long
 #define M 10000005
 using namespace std;

 pair<L,L> p[M]; int cnt=;

 int solve(L z,L bei){
     int res=;
     for(L n=;n*n<=z;n++){
         L m=sqrt(z-n*n),x=,y=;
         if(m*m+n*n!=z) continue;
         x=*n*m;
         y=n*n-m*m;
         if(x==y) continue;
         if(x>y) swap(x,y);
         if(x<=) continue;
         p[++cnt]=make_pair(x*bei,y*bei);
         res++;
     }
     return res;
 }

 int main(){
     int cas; cin>>cas;
     while(cas--){
         L k,z,ans=; cin>>k>>z; cnt=;
         if(k==) {printf("0\n"); continue;}
         for(L i=;i*i<=z;i++) if(z%i==){
             ans+=solve(i,z/i);
             if(i*i!=z) ans+=solve(z/i,i);
         }
         sort(p+,p+cnt+);
         cnt=unique(p+,p+cnt+)-p-;
         if(k==){
             for(int i=;i<=cnt;i++){
                 p[i]=make_pair(p[i].second-p[i].first,p[i].second+p[i].first);
             }
             sort(p+,p+cnt+);
             cnt=unique(p+,p+cnt+)-p-;
         }
         printf("%d\n",cnt);
         for(int i=;i<=cnt;i++) printf("%d %d\n",p[i].first,p[i].second);

     }
 }