[xsy2880]取石子游戏

题意：有$n$堆石子，每堆石子数量相同，以质因数分解给出，不停地从$1$到$n$依次拿石子，使得取完后石子个数为原来的因数（不能不取），当一堆只剩$1$个时结束，问在每堆石子结束的方案数

记石子个数为$\prod\limits_{i=1}^mp_i^{e_i}$，拿石头就是选一些$e_i$把它们减小

令一堆石子取$x$次取完的方案数为$f_x$，取$x-1$次还未取完的方案数为$g_x$，那么$g_x=f_x$，因为对于每个取$x-1$次未取完的方案，把它取完就对应一个$x$次取完的方案，对于每个$x$次取完的方案，它的前$x-1$次操作一定不完全相同，所以两种方案数相同

记$s=\sum e_i$，那么取$j$次取完并在$i$结束的方案数为$g_{j+1}^{i-1}f_jg_j^{n-i}=f_{j+1}^{i-1}f_j^{n-i+1}$，所以答案为$ans_i=\sum\limits_{j=1}^sf_{j+1}^{i-1}f_j^{n-i+1}$

现在我们来算$f$，直接算将$e_i$分成$x$份的方案数就是$h_x=\prod\limits_{i=1}^m\binom{e_i+x-1}{x-1}$，但$h_x\ne f_x$，因为$h_x$中可能包含那些某一次一个石子都没取的方案，所以要容斥

取$x$次中，至少有$y$次一个石子都没取的方案数为$\binom xyh_{x-y}$，那么$f_x=\sum\limits_{y=0}^x(-1)^y\binom xyh_{x-y}$，也就是说求出$h$后我们就可以$O(s\log s)$求$f$了

原题中$h$可以暴力求，但毒瘤代爷稍微加强了一下数据，注意到因为$\sum e_i=s$，所以不同的$e_i$最多会有$O(\sqrt s)$个，所以我们对相同的$e_i$一起处理，就可以在$O(s\sqrt s\log s)$的时间内递推求得$h$

总时间复杂度$O(s\sqrt s\log s)$

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int mul(int a,int b){return(ll)a*b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
void inc(int&a,int b){(a+=b)%=mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int rev[1048576],N,iN;
void pre(int n){
	int i,k=0;
	for(N=1,k=0;N<=n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	iN=pow(N,mod-2);
}
void ntt(int*a,int on){
	int i,j,k,t,w,wn;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		wn=pow(3,on==1?(mod-1)/i:mod-1-(mod-1)/i);
		for(j=0;j<N;j+=i){
			w=1;
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				t=mul(a[i/2+j+k],w);
				a[i/2+j+k]=de(a[j+k],t);
				a[j+k]=ad(a[j+k],t);
				w=mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],iN);
	}
}
int e[10010],inv[300010],fac[300010],rfac[300010],h[300010],f[300010],c[300010],pe[300010],pc[300010];
int C(int n,int k){return mul(fac[n],mul(rfac[k],rfac[n-k]));}
int a[1048576],b[1048576];
int main(){
	int m,n,s,i,j,t,M;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	s=0;
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&t,e+i);
		s+=e[i];
		c[e[i]]++;
	}
	M=0;
	for(i=1;i<=s;i++){
		if(c[i]){
			M++;
			pe[M]=i;
			pc[M]=c[i];
		}
	}
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=s;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	rfac[s]=pow(fac[s],mod-2);
	for(i=s;i>0;i--)rfac[i-1]=mul(rfac[i],i);
	inv[1]=1;
	for(i=2;i<=s;i++)inv[i]=-mul(mod/i,inv[mod%i]);
	h[1]=1;
	for(i=1;i<s;i++){
		h[i+1]=h[i];
		for(j=1;j<=M;j++)h[i+1]=mul(h[i+1],pow(mul(pe[j]+i,inv[i]),pc[j]));
	}
	pre(s<<1);
	for(i=0;i<=s;i++){
		a[i]=(i&1?-1:1)*rfac[i];
		b[i]=mul(h[i],rfac[i]);
	}
	ntt(a,1);
	ntt(b,1);
	for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],b[i]);
	ntt(a,-1);
	for(i=0;i<=s;i++)f[i]=mul(a[i],fac[i]);
	for(i=1;i<=n;i++){
		t=0;
		for(j=1;j<=s;j++)inc(t,mul(pow(f[j+1],i-1),pow(f[j],n-i+1)));
		inc(t,mod);
		printf("%d\n",t);
	}
}