4、Normal Equation 的向量投影解法与几何和直觉解释

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/269232332

在线性回归的正交方程 ( Normal Equation )推导一文中提到使用 向量投影 的方法一步就能推导出 正交方程。从向量投影的角度，体现 线性回归 的本质。

预备知识：向量投影

平面A由基向量 所张成（Span ），换言之，平面A是 的列空间。

是平面外的一点， 是 在平面上的投影， ，求

是 和 之间的距离 ：

用人话来解释下： 构建了一个平面，平面内的任何向量，它俩均可通过 线性组合 构建出来，换言之，平面外的向量它俩就搞不定了。向量   在 构建的平面外，不论 如何组合都不可能组合出 ，这个问题 无解。但是，可以组合出    在平面内的投影  ，这是平面内最接近    的点，   是 和 之间的偏差。于是，问题就变成了：如何找到组合 ，使 。

线性代数的初心是解决： ，在明显无解的情况下（方程数 > 变量数，超定），退而求其次，解一个可以解决的近似问题： 。

垂直于

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言归正传，回到线性回归的问题：

线性回归要解决的问题是：找到合适的    ，使

实际应用中，方程的数量（样本数）经常远大于变量 / 未知数的数量（特征数），例如以下数据情况：100条数据10个字段，意味着100个方程10个未知数，显然，这样的超定方程组是无解的（over determined ），所以我们不得不改变目标，寻找一个最“接近”的近似解 ，使得 ， 是 在 的列空间的投影。

将 代入 ，将   代入 ，将 代入 ，于是就得到 Normal Equation:

翻译成线性回归的语境：由于 不在 所张成的空间内，不论 如何进行线性组合，都不可能组合出 ，但是，可以组合出 在平面内的投影 ，线性回归的目标就是找到参数 ，使 。

在理解了线性回归的投影本质后，使用向量投影公式，只需一步就可以得到Normal Equation： 。

也可以表示为： ，其中 ，被成为伪逆矩阵。

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最后从直觉的角度再来看一下 Normal Equation 和伪逆矩阵，方便记忆：

回顾我们的出发点 ，如果 可逆，两边同时乘以 ，显然 。

但在机器学习中，经常面对的是 超定（ Overdetermined ）方程，方程数（ 数据点的数量，行，记录 ）大于未知数（ 即特征数，列，字段 ），非方阵， 不可逆。

是对称矩阵，也称 Gram 矩阵，它是 的方阵，大概率可逆，因此，我们很自然的希望在方程两边同时乘以 ，得到： ，再两边同时乘以 就能到 Normal Equation 。这个推导并不严谨， 可能不可逆，但可作为快速记忆公式的方法。