[SDOI2008]仪仗队（欧拉筛裸题）

题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如右图)。  现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入输出格式

输入格式：

共一个数N

输出格式：

共一个数，即C君应看到的学生人数。

思路：

典型的欧拉筛

为了帮助萌新，我先从欧拉函数开讲

什么是欧拉函数？

定义：与一个数的约数有且只有1的数（互质）的个数（比如说2有1一个，6有1，5两个）

性质：积性函数（Phi（i）等于他的所有质因数的phi值的乘积）

为什么能这么做呢？

其实这道题求的是有多少种不同的斜率

为什么呢?

看图：

很显然，一个斜率上只能看到一个人，该斜率其他人都会被堵得死死的。。。

那么，每一个独立的斜率又如何表示呢？

我们用数对（x,y）表示斜率

我们知道，如果x,y不互质，那么他们可以同时除以他们的最大公约数（设为k），则该斜率可表示为（x/k，y/k）

很显然会有重复

所以为了避免重复，我们所求的是互质点对的个数

互质点对很显然就是欧拉函数

这里我用的是（nlogn）的算法——埃氏筛

从2开始，一个数i如果因数标记为1，则他是素数，他的欧拉函数值为i-1，同时，利用它来更新所有它的倍数的因数标记，如果因数标记大于1，则其不是素数，根据积性函数的性质，Phi[i]=其各因数的乘积，当其含有多次方因子时（比如8=2^3）,那么Phi[i]的值为phi[2]*2*2；

不说了，代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long ll;
long long e[40010];
long long n,ans;
int main()
{
    ans=2;
    cin>>n;
    if(n==1)
    {
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        e[i]=i;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(e[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                e[j]=e[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    n--;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        ans+=e[i]*2;
    }
    cout<<ans+1;
}